北京航空航天大学材料力学课件-刘华-7第七章弯曲变形.

第七章弯曲变形Page1§7-1引言§7-2挠曲轴近似微分方程§7-3计算梁位移的积分法§7-5计算梁位移的叠加法§7-6简单静不定梁§7-7梁的刚度条件与合理刚度设计第七章弯曲变形第七章弯曲变形Page2目的:1、解决梁的刚度问题2、求解静不定梁3、为研究稳定问题打基础§7-1引言拉压杆的变形：伸长或缩短(Dl)圆轴扭转的变形：相对转动(扭转角j)弯曲变形：怎样描述？回顾：第七章弯曲变形Page3挠曲轴是一条连续、光滑曲线对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交挠曲轴轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴，•弯曲变形的特点第七章弯曲变形Page4梁变形的表示方法：描述梁的位移:1、截面形心在垂直于梁轴方向的线位移——挠度w2、横截面的角位移——转角挠度随坐标变化的方程——挠曲轴方程w=w(x)忽略剪切变形+梁的转角一般很小——lxFxw'dd'tanABlx)(xw)(x)(x第七章弯曲变形Page5§7-2挠曲轴近似微分方程w挠曲轴的近似微分方程——变形与载荷的关系：中性层曲率表示的弯曲变形公式由高等数学知曲线ww(x)上任意点的曲率挠曲轴微分方程——二阶非线性常微分方程EIxMx)()(1EIM1（纯弯）（推广到非纯弯）3/221)(1wwxEIxMww)(13/22第七章弯曲变形Page6方程简化EIxMxwxw232)]([1)(•小变形时：12w22dwM(x)=dxEI•正负号确定——确定坐标系:w向上为正，逆时针为正EIxMxw)(dd22第七章弯曲变形Page7DCxdxEIxMwC、D为积分常数，它们由位移边界与连续条件确定。EIxMwCdxEIxMdxdw一、梁的挠曲轴方程§7-3计算梁位移的积分法第七章弯曲变形Page8DCxdxEIxMw位移边界条件w=0w=0w=0=0二、位移边界条件与连续条件自由端：无位移边界条件。位移连续与光滑条件ACDMFB挠曲轴在B、C点连续且光滑连续：wB左=wB右光滑：B左=B右第七章弯曲变形Page9写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件例：ABCDFE0,0AAw可动铰0Cw自由端：无位移边界条件固定端连续条件：边界条件：右左右左右左EEEEBB右左右左CCCCww第七章弯曲变形Page10已知EI,建立该梁的挠曲轴方程0MwxEIABx0M0MwxxCEI202MwxxCxDEI解:2、挠曲轴近似微分方程0MxM1、弯矩方程:例：第七章弯曲变形Page11ABx0M3、积分常数的确定0202MwxxCEIMwxxCxDEIw(0)=0D=0w’(0)=0C=0200,2MMwxxxxEIEI第七章弯曲变形Page1201MxwEIl已知EI,建立该梁的挠曲轴方程021MxwEIl30116MxwCxDEIl3202262MxxwCxDEIl2/l2/l0MAClM/0lM/0解:计算约束反力，建立坐标系。AB段BC段xlMxM0)(00)(MxlMxM例:xB第七章弯曲变形Page13边界和连续条件:1222llww1222llww2201424MxwxxllEI100w20wl四个方程定4个常数2/l2/l0MAClM/0lM/0xB30116MxwCxDEIl3202262MxxwCxDEIl1223200021162248MMlxMlxxwEIlEIEI第七章弯曲变形Page14a2qaADaaqBC绘制挠曲轴的大致形状：43qa4qa1.绘制弯矩图。2.绘制挠曲轴的大致形状凹凸凹直线挠曲轴大致形状43qa+_4qaFs42qa+322qaMEIxMxw22dd弯矩图过零点处为挠曲轴拐点，弯矩M＝0的梁段，挠曲轴为直线支座性质定该处线和或角位移，在分段处满足位移连续条件弯矩图符号定挠曲轴凹凸性•有些截面的挠度为正或负，需由计算确定拐点第七章弯曲变形Page15§7-5计算梁位移的叠加法叠加法逐段分析求和法两种方法比较例题第七章弯曲变形Page16一、叠加法M(x)为载荷(F,q,Me)的线性齐次函数2、梁的变形很小；(不影响其它载荷的作用效果)1、应力不超过比例极限；(线弹性)梁的变形与载荷成线性关系,MxwEI积分后，w和w’仍然是载荷(F,q,Me)的线性齐次函数2)(2xqFxxM第七章弯曲变形Page17叠加法的应用例：EI=常数，求Aw，A载荷由集中力F，均布力q和力偶M0构成，分别查表（请熟记P377附录E中1，3，4，6，8，9各梁的挠度和转角），然后将各个载荷在A端引起的位移叠加。Al0MFq分析方法：第七章弯曲变形Page18查表,p3772340()238AMlFlqlwEIEIEIAl0MAlFAlqAl0MFq223026AMlFlqlEIEIEI()AwMlEI0MlEI022qlEI36qlEI480MFqAEIFl22EIFl33叠加：第七章弯曲变形Page19例：载荷集度为lxqxq2cos0，求自由端挠度Bwd()qdxq0BlFaBalEIFawFB362分析方法：将任意分布载荷看作无穷微集中力的叠加。注意(1)a取为变量2载荷向上为正22036cos362BdFdwlEIqldEIl查表P377(2):第七章弯曲变形Page20例：载荷集度为lxqxq2cos0，求自由端挠度Bw20004304cos3622243llBBqwdwldEIlqlEIddq)(0xq0BlFaB20cos362BqdwldEIl第七章弯曲变形Page2140152768acccwwqlEIACB2l2lq0(a)+q0(b)BAC2l2lq0(c)分析：abccwwabcccc45384ccwqlEI故：为什么？例：EI=常值，求cw第七章弯曲变形Page22例：矩形截面梁斜弯曲问题——计算自由端形心C的位移。cosFFysinFFzzyyEIlFw33yzzEIlFw3322322sincos3yzzzyIIEIFl方位角tgIIarctgwwarctgyzyz一般，弯曲变形不发生在外力作用面内。yCzlF第七章弯曲变形Page23ABx0M•挠曲轴大致形状的绘制PACPaaa（1）（2）凸直线AC第七章弯曲变形Page24lAaqBC例：求图示外伸梁C点的挠度和转角二、逐段分析求和法：EIqaEIqayCC683141EIlqaayEIlqaBCB66322lAaqBC仅考虑BC段变形：仅考虑AB段变形：lAaBCqaqa2/2第七章弯曲变形Page25例：E常数,122IICw，C,求2I1IPABC刚化AB段：BBC段刚化：PaMPFABCABCP仅考虑BC段变形：1313EIPawC1212EIPaC仅考虑AB段变形：a,,2MBFBBC,,2第七章弯曲变形Page26例2：EI=常数，GIp=常数，求Aw。ppBAGIlPaaGIPalaw22jBC扭转:BC弯曲:EIPlwwBA333laABCPABC1AwBC刚化:PBCABjPPaAB刚化:w3)(331EIPawAAB弯曲：EIPaEIPlGIlPa第七章弯曲变形Page27例：E常数,122IICw，B,求2I1IFABC1IEFABC对称性在变形分析中的应用：CwF/22I1ICFB第七章弯曲变形Page28AaCBaqBAaCaq/2AaCaq/2反对称：中点挠度为0，弯矩0→铰支对称：4115(2)0,768CCqawEI思路：载荷分解aCq/2例：利用对称性求,CCw2320224CCwqaEI31248CCCqaEI()412548CCCql(↓)第七章弯曲变形Page29例：组合梁的变形分析，求：C左/右AqlCBl316qlEIAB12C’2Cwl解：梁挠曲轴如图CB保持直线48CqlwEI312724CqlEI左/右AC悬臂梁qACBR=0RR第七章弯曲变形Page30212CBww问题分析：采用逐段分析求和法例：组合梁/刚架各处EI,EA,B处梁间活动铰，求CwABCF1Cw•刚化刚架BDH,AB为简支梁，•刚化梁AB，12CCC3148CFawEI2CwBw2aaaABHD2aCFBHDF/2第七章弯曲变形Page31解：1.求BwaaBHDF/22w1w3w（1）刚化DH，BD相当于悬臂梁（2）刚化BD331236BFaFawEIEI23222BDFaFawaaEIEIDH弯曲32BDHFawlEIDDH压缩A3123232BBBBFaFaA(如果题意没有要求)，拉压与弯曲共同作用时，拉压引起的位移可以忽略。第七章弯曲变形Page32§7-6简单静不定梁•静不定度与多余约束多余约束多于维持平衡所必须的约束多余反力与多余约束相应的支反力或支力偶矩静不定度＝支反力（力偶）数－有效平衡方程数静不定度＝多余约束数5-3=2度静不定6-3=3度静不定()qxM()qxF第七章弯曲变形Page33相当系统：受力与原静不定梁相同的静定梁相当系统的选择不是唯一的相当系统1相当系统2•相当系统qABABRBqABq第七章弯曲变形Page34AB静定基:一个静不定系统解除多余约束后所得的静定系统(左下)相当系统：作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统(右下)AB静定基与相当系统qABABRBqABq第七章弯曲变形Page35•静不定问题分析例：ABCFqFAFBFC平面问题有三个平衡方程；水平方向不受力，两个有效平衡方程；有三个未知力，一度静不定。ABCFqFBwB=0问题分析：可以以支座A、B、C任意一个的铅垂约束作为多余约束。求解：解除多余约束，代以约束反力，利用相应变形协调条件求解。例如解除约束B，变形协调条件为第七章弯曲变形Page36例：求支反力1.静不定度：6-3=32.选取相当系统：右中、下图都合适。选右中图。小变形，轴向变形可忽略HA=HB=0。两多余未知力qABHAHBRBRAMBMAABMAMBqABRBMB3.建立变形协调条件00BBw第七章弯曲变形Page374.联立求解0,0BBw3240(1)328RMqBBBBBBRlMlql230(2)26RMqBBBBBBRlMlqlEIEIEIqABRBMB2224BBqlRqlM第七章弯曲变形Page383.建立变形协调条件4.联立求解00BA)2(024363EIqlEIlMEIlMBAqBMBMBBBA)1(024633EIqlEIlMEIlMBAqAMAMAABA第二种相当系统：ABMAMBq第七章弯曲变形Page39例：求A点的垂直方向的位移，A处梁间活动铰。aADR’