北工大数学建模作业3--已通过考核

数学建模作业（最优化与存储模型实验）基本实验1.曲线拟合有关部门希望研究车速与刹车距离之间的关系，y=β0+β1x，其中x为车速，y为刹车距离，现测得50组数据（xi，yi）（i=1,2,…，50）（见表3.1，用三种方法((1)平方和最小；(2)绝对偏差和最小；(3)最大偏差最小)估计系数β0和β1，并分析三种方法的计算效果(注:用LINGO软件求解，用其他软件画出散点图和回归直线)，说明哪一种方法得到有结果更合理。解：(1)根据题意列出目标方程为：minβ0,β1=∑(β0+β1xi−yi)2ni=1使用Lingo软件进行计算并取最优解，编程如下：model:sets:quantity/1...50/:x,y;endsetsmin=@sum(quantity:(B0+B1*x-y)^2);data:y=210422161018263417281420242826343446263660802026543240324050425676843646683248525664665470929312085;x=4477891010101111121212121313131314141414151515161617171718181818191919202020202022232424242425;enddata@free(B0);@free(B1);End得到结果如下：Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:11353.52Infeasibilities:0.000000Extendedsolversteps:5Totalsolveriterations:16VariableValueReducedCostB0-17.57909-0.2710756E-08B13.932409-0.4680284E-07X(1)4.0000000.000000X(2)4.0000000.000000X(3)7.0000000.000000……X(50)25.000000.000000Y(1)2.0000000.000000Y(2)10.000000.000000Y(3)4.0000000.000000……Y(50)85.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice111353.52-1.000000所以得到平方和最小时的β0为-17.57909，β1为3.932409。(2)根据题意可以列出目标方程：minβ0,β1=∑|β0+β1xi−yi|ni=1使用Lingo软件进行计算并取最优解，编程如下：model:sets:quantity/1...50/:x,y;endsetsmin=@sum(quantity:@abs(B0+B1*x-y));data:y=210422161018263417281420242826343446263660802026543240324050425676843646683248525664665470929312085;x=4477891010101111121212121313131314141414151515161617171718181818191919202020202022232424242425;enddata@free(B0);@free(B1);End得到结果如下：Linearizationcomponentsadded:Constraints:200Variables:200Integers:50Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:563.8000Objectivebound:563.8000Infeasibilities:0.1776357E-14Extendedsolversteps:0Totalsolveriterations:83VariableValueReducedCostB0-11.600000.000000B13.4000000.000000X(1)4.0000000.000000X(2)4.0000000.000000X(3)7.0000000.000000……X(50)25.000000.000000Y(1)2.0000000.000000Y(2)10.000000.000000Y(3)4.0000000.000000……Y(50)85.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice1563.8000-1.000000所以得到绝对偏差和最小时的β0为-11.60000，β1为3.400000。(3)根据题意可以列出目标方程：minβ0,β1=max1≤i≤n|β0+β1xi−yi|使用Lingo软件进行计算并取最优解，编程如下：model:sets:quantity/1...50/:x,y;endsetsmin=@max(quantity:@abs(B0+B1*x-y));data:y=210422161018263417281420242826343446263660802026543240324050425676843646683248525664665470929312085;x=4477891010101111121212121313131314141414151515161617171718181818191919202020202022232424242425;enddata@free(B0);@free(B1);End得到结果如下：Linearizationcomponentsadded:Constraints:301Variables:251Integers:100Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:36.00000Objectivebound:36.00000Infeasibilities:0.3552714E-14Extendedsolversteps:0Totalsolveriterations:996VariableValueReducedCostB0-12.000000.000000B14.0000000.000000X(1)4.0000000.000000X(2)4.0000000.000000X(3)7.0000000.000000……X(50)25.000000.000000Y(1)2.0000000.000000Y(2)10.000000.000000Y(3)4.0000000.000000……Y(50)85.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice136.00000-1.000000所以得到绝对偏差和最小时的β0为-12.00000，β1为4.000000。根据y=β0+β1x，得到的三个解析方程式为：y=-17.57909+3.932409xy=-11.60000+3.400000xy=-12.00000+4.000000x利用Matlab求得所有数据的线性回归方程：LinearmodelPoly1:F(x)=p1*x+p2Coefficients(with95%confidencebounds):p1=3.653(2.877,4.429)p2=-15.36(-27.99,-2.737)Goodnessoffit:SSE:9803R-square:0.6987AdjustedR-square:0.6925RMSE:14.29分析结果，其R2约为0.6987，解析式为y=-15.36+3.653x2.最优设计问题请设计一个圆柱形金属罐，其容积为340ML，且罐的高度不能超过直径的2倍。已知底面的造价与侧面的造价相同，顶面的造价是侧面造价的4倍，试给出金属罐最优造价的尺寸。解：设罐的侧面的造价为X，则顶面的造价为4X，罐的直径为YH≤2Y3.选址问题计划在丛林中修建2个临时机场为3个野外作业点提供远程加油服务。第1个作业点每月需要油料25吨。第2个作业点，位于第1个作业点以东75公里，以北330公里，每月需要油料14吨。第3个野外作业点，位于第1个作业点以西225公里，以南40公里，每月需要油料34吨。请确定2个临时机场的位置，使得每月从机场到作业点的吨公里数最少。解：根据题意可设两个机场的位置分别为（Xj，Yj），向三个作业点运油量为Cij，其中，i=1，2，3，j=1，2。则目标函数为：min∑∑cij[(xj−ai)2+(yj−bi)2]12⁄3i=12j=1约束条件为：s.t.∑cij2j=1=di,i=1,2,3LINGO程序model:sets:demand/1..3/:a,b,d;supply/1..2/:x,y;link(demand,supply):c;endsetsdata:作业点位置;a=0,75,-225;b=0,330,-40;需求量;d=25,14,34;enddata目标函数;[OBJ]min=@sum(link(i,j):c(i,j)*((x(j)-a(i))^2+(y(j)-b(i))^2)^(1/2));需求约束;@for(demand(i):[Demand_Com]@sum(supply(j):c(i,j))=d(i););@for(supply:@free(x);@free(y););End运行结果Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:4737.816Infeasibilities:0.000000Totalsolveriterations:39ModelClass:NLPTotalvariables:10Nonlinearvariables:10Integervariables:0Totalconstraints:4Nonlinearconstraints:1Totalnonzeros:16Nonlinearnonzeros:10VariableValueReducedCostA(1)0.0000000.000000A(2)75.000000.000000A(3)-225.00000.000000B(1)0.0000000.000000B(2)330.00000.000000B(3)-40.000000.000000D(1)25.000000.000000D(2)14.000000.000000D(3)34.000000.000000X(1)0.4387874E-080.000000X(2)-225.00000.000000Y(1)0.1930665E-070.000000Y(2)-40.000000.000000C(1,1)25.000000.000000C(1,2)0.000000228.5279C(2,1)14.000000.000000C(2,2)0.000000137.9248C(3,1)0.000000228.5279C(3,2)34.000000.000000RowSlackorSurplusDualPriceOBJ4737.816-1.000000DEMAND_COM(1)0.0000000.000000DEMAND_COM(2)0.000000-338.4154DEMAND_COM(3)0.0000000.000000由运行结果可得：2个临时机场的位置坐标分别为A（0.4387874E-08,0.1930665E-07），B（-225.0000，-40.00000）。可将临时机场修建在第1个和第3个作业点的位置。4.路灯照明问题（1）在一条20M宽的道路两侧，分别安装了一只2KW和一只3KW的路灯，它们离地面的高度分别为5M和6M。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？（2）如果3KW的路灯的高度可以在3M到9M之间变化，如何使路面上最暗的亮度最大？解：根据题意可得下面的原理图：设路灯的光照强度I=K*(P*sinαR2)，路灯光照强度系数K=1