北师大2012量子力学试题

北京师范大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题部（院、系）：物理系科目代码：959科目名称：量子力学（所有答案必须写在答题纸上，做在试题纸或草稿纸上的一律无效）参考公式：泡利矩阵0110x，00yii，1001z一．选择题（共25分）。写清每题的题号及所有正确答案，多选、少选、选错均不得分。1.一维粒子处于势函数()Vx中，已知()Vx是实值偶函数，且()x是能量本征方程的一个解，则(A)()x必为偶函数(B)()x一定是能量本征方程的解(C)()x必为实值函数(D)()x的复共轭函数*()x一定是能量本征方程的解2.以下哪个（些）数字可能是氢原子能级的简并度(A)2(B)4(C)7(D)93.若算符ˆA满足2ˆˆAA，则(A)ˆA的本征值只可能是0或1(B)ˆA必为厄米算符(C)ˆA在任何态的平均值为非负实数(D)ˆA必为常数算符4.以下哪个（些）算符一定为厄米算符(A)(B)(C)(D)5.厄米算符ˆA、ˆB满足ˆˆˆˆ0ABBA。若是ˆA的本征态，本征值非零，则(A)必为ˆB的本征态(B)ˆB必为ˆA的本征态(C)ˆA必为ˆB的本征态(D)ˆB在中的平均值必为零。（转背面！）第1页共3页科目代码：959科目名称：量子力学第2页共3页二．（25分）已知20()2pHVxm的某个能级是E，若系统变为0HHp（为常数），求该能级的变化。（提示：此题需严格求解，可在动量表象下计算）三．（25分）在某自旋态中，测2zs的概率是12，测2xs的概率是34，求所有可能的独立解，结果用zs表象与表示。四．（25分）考虑一个沿x方向运动的一维电子，其运动存在自旋轨道耦合，哈密顿量可写成21()2zxHpam其中,为常数。令21m，1。(1)当0a时，写出能量本征值和相应的本征态。(2)当0a，0时，写出能量本征值和相应的本征态。(3)设电子处于动量为k的态，将哈密顿量中的x作为微扰，写出能量本征值和本征函数到一级近似。(4)接上问，在一级近似下，画出能量动量关系示意图。五．（25分）考虑一个类氢原子：无自旋质量为m的粒子在中心力场中运动，原子处于z方向均匀磁场中。哈密顿量可写为222LzpeHLmr，zL为角动量z分量，L正比于原子磁矩。(1)写出原子角动量各分量的期望值的时间演化方程。(2)假设原子在0t时刻处于2p轨道，xL的本征态，求t时刻波函数。(3)接上问，原子角动量发生进动，求进动周期？（转下页！）科目代码：959科目名称：量子力学(4)接(2)问，在t时刻测量zL的可能值和相应几率是多少？(5)接(2)问，2Lt时，测量xL的可能值和几率是多少？注：本题可能用到的公式如下球谐函数103cos4Y，113sin8iYe；1l时，算符xL在zL表象的表示矩阵为：1002110221002。六．（25分）两个电子被紧紧地束缚在晶体的相邻位置上，可分辨，也不考虑它们的空间运动。它们的自旋分别为1s和2s。两个电子之间的相互作用可以用如下的哈密顿量表示：1212()xxyyHJssss，其中0J是常数。(1)求出这个系统的能级和属于各个能级的本征态（自旋部分）。(2)现在在z方向加一个匀强磁场B，求出系统的能级。(3)接上问，请画出能级随B变化的示意图。第3页共3页