化工传递过程基础2

化工传递过程基础第五章边界层流动N—S方程式反映了流体流动规律，但其解只在某些特殊情况下才能获得，对很小Re的爬流结果正确，而对Re很大的势流导致错误的结果，对此1904年Prandtl提出边界层学说后才得以解释。yu0第一节边界层的概念1、流动现象当流体遇到壁面时，由于流体内部粘性力的作用，流速将从壁面处的0逐渐uxδ增加到u0。即在整个流层中，沿垂直于流动方向产生了速度梯度。2、提出论点Prandtl提出的论点是：假定ux速度梯度全部集中在紧靠壁面的一薄层流体中，该薄层称为边界层，在边界层以外流速不再变化。为此将流动划分为两个区域：边界层（粘性效应起作用，存在明显速度梯度的区域）和主流区。3、应用边界层理论为许多试验所证实，一些复杂的传递现象可获得解决。4、边界层的形成和发展形成：壁面的粘附作用；流体具有粘性。发展：边界层在一定距离内变化，然后趋于稳定。99.00uux在发展过程，边界层内的流动可能由层流转化为湍流，即由层流边界层转为湍流边界层，但在靠近壁面处仍然存在一层层流内层。开始转变的距离称为临界距离xc，转变点取决于临界Rec=5×105。u0yu0xcu0ux层流边界层过渡区湍流边界层x在管内流动时，管内壁面形成边界层，而且逐渐加厚，在离进口某一段距离Le处边界层在管中心汇合，此后的流动称为充分发展了的流动。从管入口到汇合处的距离称为进口段长度，以Le表示，用于流体物理量的测量时，要求测点超过Le才结果准确。层流时Le=0.05d×Re；湍流时Le＞50d。u0umax湍流核心LeLe5、边界层厚度的定义一般取流速达到u0的99%处距离壁面的垂直距离（y方向）为边界层厚度δ，即：δ虽然很小，但对流体的流动阻力，传热、传质过程的速率有重要影响，其大小与流体流动时的湍动程度有关。第二节Prandtl边界层方程式不可压缩流体沿壁面作稳态（层流边界层）流动时，可看作二维流动过程，若流动方向x，与壁面垂直方向y，则Naver—Stokes方程式及连续性方程式为：%990uuyx)(12222yuxuxpyuuxuuxxxyxx)(12222yuxuypyuuxuuyyyyyx0yuxuyx1、Prandtl边界层方程式的推导采用数量级分析法：当流体流动的Re很大时，δ＜＜x，甚至可以忽略不计。因此对式中各项进行数量级分析，使方程式简化。（采用O代表数量级）（1）取x为距离的标准数量级，用O（1）表示，记x=O（1）；（2）取u0为速度的标准数量级，用O（1）表示，记u0=O（1）及ux=O（1）；（3）取δ的数量级为O（δ），记δ=O（δ）及y=O（δ）；（4）由二维连续性方程式知：（5）其余数量级：0yuxuyx)1(Oxux)1(Oyuy)(Ouy)1(Oyux)1(222Oyux)(22Oxuy)1(22Oyuy)1(22Oxux)(Oxuy根据以上讨论，对Naver—Stokes方程式中各项数量级之间的关系标注为：（1）（1）（δ）（1/δ）（1）（δ2）（1）（1/δ2）由于：因此方程式简化为：同理：（1）（δ）（δ）（1）（δ）（δ2）（δ）（1/δ）由此数量级分析可得到的结论是：①第二个方程式与第一个方程式相比，可以略去；②)(12222yuxuxpyuuxuuxxxyxx2222yuxuxx221yuxpyuuxuuxxyxx)(12222yuxuypyuuxuuyyyyyx0)(Oypdxdpxp0dxdp因此根据数量级分析得出的Prandtl边界层方程式为：以及连续性方程式：满足的边界条件：①y=0，ux=0，uy=0；②y=∞（δ），ux=u02、Prandtl边界层方程式的数学解将代入到边界层方程式得：Blasuis采用相似变换法将其转变为常微分方程，进行积分求解。（1）寻找变量通过相似变换用无因次变量代替x、y：22yuyuuxuuxxyxx0yuxuyxyuxxuy33222yyxyxyxuyyx0),(xuf0)(过程：①通过因次分析，引入变量经分析以质量M、时间θ及x、y、z方向上的长度Lx，Ly，Lz为基本因次，代入：根据因次一致性原则，解得：),(yxedcbaxyxBuu0ezyxdzxycybxaxxLLLMLLMLLLLL)()()(ca211cb21cd21ce21cccccxyxBuu2121212110即：式中：②引入流函数ψ，找出ψ与的关系：)(])([])([2102100FxuyFxuyBuucxxxyxuyyxRe),(0),(yx)(00FuxuyyuxxuF0)()()(00fxudFxuxuf0)(（2）引入变量和ψ，对各项进行变换：),(yxfuxufxuyyux000)(21][00ffxufxuxxuyyxfxuxfufuxxux2022002)(22002200)(yfxuuyfufuyyux332033000022)(yfxuyfxuufxuuyyux（3）代入到得：（4）解方程式：Blasuis应用级数衔接法，在η=0附近按Taler级数将f（η）展开，方程的边界条件为：①②③22yuyuuxuuxxyxx02fff0,0,000uufxuyyx0,0,000fxuufxuyyy0,,000uuuufyx在η=0附近按Taler级数将f（η）展开：由边界条件②：y=0，η=0，f（0）=0，∴c0=0由边界条件①：y=0，η=0，f‘（0）=0，∴c1=0代入并且整理：55443322105432ccccccf45342321432cccccf46352432432cccccf58475625435432ccccccf041)42(31)24(21)2(224234273632252243ccccccccccc为使上式成立，各项系数等于零，即：c3=0，c4=0，c6=0，c7=0，∴式中：A0=1，A1=1，A2=11，……，c2由η→∞时的边界条件确定，其求解结果为：实际计算时可通过查取表4-1进行。22521cc231283252222)23()21(814115122nnnnncAcccf542105943.416603.0f11886104277.1104972.23、Prandtl边界层方程式的应用（1）边界层中的速度分布ux，uy：（2）边界层厚度δ：（3）曳力系数CD：设平壁宽度b，长度L，流体受到的总阻力为：xyxyuuffxuuRe083.0)(212200000000Re332.0332.0332.0uxyuxuxyufuuxxxuuux005,5,99.05.00Re55xxuxbdxyubdxAuCFLyxLsxDd0002021其中：第三节Karman边界层积分动量方程式1、Karman边界层积分动量方程式的推导方法：对Prandtl边界层方程从y=0到y=δ进行积分，然后根据速度分布求解。xuufxuuyuyxsx020000332.0)0(5.0200020Re664.0332.0LLdbLuxdxbuuF5.0205.020Re328.1Re664.02LLDbLubLuCPrandtl边界层方程式左侧积分：其中：①②③000000)(yxyxxxxyxxxyxxduuuudyxuuduudyxuudyyuuxuudyyuudyxuuyxxx00dyxuudyyuuuuuuxyyxyx0000000dyxuudyyuuduuxxyxyx000dyuuuxdyxuudyxuudyyuuxuuxxxxxxyxx)(2)(000000Prandtl边界层方程式右侧积分：因此Karman边界层积分动量方程式：若已知ux～y的关系，通过对Karman边界层动量方程式积分，可得速度分布等。2、流体沿平版壁面流动时层流边界层的近似解（1）速度分布：不可压缩流体作稳态二维流动时，根据实验测定层流边界层内速度分布与抛物线形状相似，即：其中系数ai由相应的边界条件确定，见87-89页。ssyxyxxyuyudyyu)0(])()[(0022sxxdyuuudxd)(00iniixyau0设速度分布方程式为：根据边界条件：①②③④得层流边界层内速度分布方程式：32dycybyaux0,0,0auyx00,0,022cyuuuyxyx30,dbuuyx0,,30dbyuuuyxx320ub302ud30)(21)(23yyuux（2）边界层厚度：将边界层内速度分布方程代入Karman边界层动量方程式中当x=0时，δ=0，故c1=0sxxdxdudyyyyyudxddyuuudxd28039)2231)(223()(2033330200023)2323(0023000uyuudyduyyxs2328039020udxdudxud0131401064.4cux5.00Re64.464.4xxux（3）曳力系数CD：设平壁宽度b，长度L，流体受到的总阻力为：其它情况下的速度分布、边界层厚度、曳力系数见表4-2中。bdxyubdxAuCFLyxLsxDd00020213000646.023LubbdxuFLd5.002030Re292.1292.1646.02LDLubLuLubC第四节边界层分离当流体绕过圆柱或球体等流动时，Re很小时阻力由粘性力引起；Re较大时摩擦阻力和形体阻力都有影响，而形体阻力取决于边界层分离。1、现象分析流体流过平行置于流场中的薄平板时，沿流动方向边界层外的速度、压力保持不变，即dp/dx=0；但当流过曲面时，边界层外的流速、压力沿流动方向发生不断变化，由Benulii方程式：2、结论对边界层外的加速过程，边界层内外为减压过程，压力梯度为负；而对边界层外的减速过程，边界层内外均为加压过程，压力梯度为正。3、影响流体流过曲面时，夹在主流和固体表面间的边界层，在加速减压阶段，虽受到粘性力的作用而减小，但仍能向下游流动；而在减速加压阶段，同时受到粘性力和逆向压力的作用，紧贴壁面的流体速度迅速下降