北师大版必修五简单线性规划教案

第1页共11页教学设计4．2简单线性规划整体设计教学分析线性规划是优化的具体模型之一，二元一次不等式有着丰富的实际背景，是刻画平面区域的重要工具．学生能够体会线性规划的基本思想，并能借助几何直观解决一些简单的线性规划问题，本节的主要目的是让学生体会数学知识形成过程中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用．求线性目标函数的最值问题是本节的重点，也是本节的难点．实际教学中要注意以下几个问题：①充分利用数形结合来理解线性规划的几个概念和思想方法．②可行域就是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．③如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点．到底哪个顶点为最优解，可有两种确定方法：一是将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是；另一种方法可利用围成可行域的直线的斜率来判断．三维目标1．使学生了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法．2．通过本节内容的学习，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．重点难点教学重点：求线性目标函数的最值问题，培养学生“用数学”的意识．教学难点：求线性目标函数的最值问题．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(问题导入)由身边的线性规划问题导入课题，同时阐明其重要意义．如6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元．而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元．如果想买2枝玫瑰或3枝康乃馨，那么价格是怎样的呢？可由学生列出不等关系，并画出平面区域．由此导入了新课．思路2.(复习导入)前面已经学习了二元一次不等式组的解集的几何形式，先让学生在坐标系中画出5x＋6y≤30，y≤3x，y≥1的解集表示的区域．学生画出后，教师点拨：怎样找到符合不等式的x、y值，使得z＝2x＋y取得最大、最小值呢？z＝2x＋y在坐标平面上表示的几何意义又是什么呢？由此展开新课．推进新课新知探究提出问题①回忆二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法.②探究交流导入新课思路2中的问题.活动：教师引导学生回顾二元一次不等式表示平面区域常用的方法是：直线定界、原点定域．即先画出对应直线，再将原点坐标代入直线方程中，看其值比零大还是比零小．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，是它们平面区域的公共部分．接下来教师引领学生探究交流导入新课思路2中的问题，设x，y满足以下条件第2页共11页5x＋6y≤30，①y≤3x，②y≥1.③求z＝2x＋y的最小值和最大值．[来源:Z.xx.k.Com]由前面知道，满足每个不等式的解集都可以表示一个平面区域，满足不等式组的解集则表示这些平面区域的公共区域(如图1)．图1这时，问题转化为：当点(x，y)在公共的平面区域内时，求z＝2x＋y的最小值和最大值．为此，我们先来讨论当点(x，y)在整个坐标平面上变化时，z＝2x＋y值的变化规律．当z＝－3，－1,0,2,4时，可得到直线：l2′：2x＋y＝－3；[来源:Zxxk.Com]l1′：2x＋y＝－1；l0：2x＋y＝0；l1：2x＋y＝2；l2：2x＋y＝4.显然，这是一组平行线．由图2可看出，当直线l0向上平移时，所对应的z随之增大；当直线l0向下平移时，所对应的z随之减小．图2如图3，在把l0向上平移过程中，直线与平面区域首先相交的顶点A13，1所对应的z最小；最后相交的顶点B245，1所对应的z最大．图3从而得到zmin＝2×13＋1＝53；zmax＝2×245＋1＝535.讨论结果：①②略．提出问题第3页共11页①上述探究的问题中，z的几何意义是什么？结合图形说明.②结合以上探究，理解什么是目标函数？线性目标函数？什么是线性规划？弄清什么是可行解？可行域？最优解？活动：教师引导学生结合前面的探究与学生一起理解z的几何意义就是直线z＝2x＋y在y轴上的截距，让学生明确这点对灵活解题非常有帮助．进一步探究上述问题，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．z＝2x＋y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数．由于z＝2x＋y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫作线性目标函数．线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z＝2x＋y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题．满足线性约束条件的解(x，y)叫作可行解，由所有可行解组成的集合叫作可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫作这个问题的最优解．讨论结果：①②略．应用示例例1已知x，y满足不等式x＋2y≥2，2x＋y≥1，x≥0，y≥0，求z＝3x＋y的最小值．活动：可先找出可行域，平行移动直线l0：3x＋y＝0找出可行解，进而求出目标函数的最小值．解：不等式x＋2y≥2表示直线x＋2y＝2上及其右上方的点的集合；不等式2x＋y≥1表示直线2x＋y＝1上及其右上方的点的集合．可行域如图4阴影部分所示．图4作直线l0：3x＋y＝0，作一组与直线l0平行的直线l：3x＋y＝t(t∈R)．∵x、y是上面不等式组表示的区域内的点的坐标，由图4可知，当直线l：3x＋y＝z通过点P(0,1)时，z取到最小值1，即zmin＝1.点评：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的．(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；(3)在可行域内求目标函数的最优解.变式训练第4页共11页设变量x、y满足约束条件2x－y≤2，x－y≥－1，x＋y≥1，则z＝2x＋3y的最大值是________．解析：画出可行域如图5，使2x＋3y取得最大值的点为P.图5由2x－y＝2，x－y＝－1，得x＝3，y＝4.∴zmax＝2×3＋3×4＝18.答案：18例2求z＝3x＋5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件5x＋3y≤15，y≤x＋1，x－5y≤3.解：不等式组所表示的平面区域如图6所示．图6从图示可知直线3x＋5y＝t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点(－2，－1)的直线所对应的t最小，以经过点32，52的直线所对应的t最大．所以zmin＝3×(－2)＋5×(－1)＝－11，zmax＝3×32＋5×52＝17.变式训练已知x，y满足x－y＋5≥0，x≤3，x＋y＋k≥0，且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k等于()．第5页共11页图7A．2B．9C．310D．0解析：如图7所示，当直线z＝2x＋4y经过两直线x＝3和x＋y＋k＝0的交点时，z有最小值－6，所以－6＝2×3＋4y.y＝－3，代入x＋y＋k＝0，得k＝0.答案：D例3已知x、y满足不等式组2x＋y≤300，x＋2y≤252，x≥0，y≥0，试求z＝300x＋900y取最大值时整点的坐标及相应的z的最大值．活动：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z＝300x＋900y取最大值时的整点．图8解：如图8所示，平面区域AOBC，点A(0,125)，点B(150,0)，由方程组2x＋y＝300，x＋2y＝250x＝3503，y＝2003，得C3503，2003.令t＝300x＋900y，即y＝－13x＋t900，欲求z＝300x＋900y的最大值，即转化为求截距t900的最大值，从而可求t的最大值．因直线y＝－13x＋t900与直线y＝－13x平行，故作y＝－13x的平行线．当过点A(0,125)时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A使z取最大值，zmax＝300×0＋900×125＝112500.点评：解决此类问题的关键是准确画出可行域.第6页共11页变式训练求z＝600x＋300y的最大值，使式中的x、y满足约束条件3x＋y≤300，x＋2y≤252，x≥0，y≥0的整数值．解：可行域如图9所示的四边形AOBC，易求点A(0,126)，B(100,0)，图9由方程组3x＋y＝300，x＋2y＝252x＝6935，y＝9115，得点C的坐标为6935，9115.因题设条件要求整点(x，y)使z＝600x＋300y取最大值，将点(69,91)，(70,90)代入z＝600x＋300y，可知当x＝70，y＝90时，z取最大值为zmax＝600×70＋300×90＝69000.例4设x，y满足约束条件x≥－3，y≥－4，－4x＋3y≤12，4x＋3y≤36.(1)求目标函数z＝2x＋3y的最小值与最大值；(2)求目标函数z＝－4x＋3y－24的最小值与最大值．解：(1)作出可行域(如图10阴影部分)．图10令z＝0，作直线l：2x＋3y＝0.当把直线l向下平移时，所对应的z＝2x＋3y的函数值随之减小，所以，直线经过可行域的顶点B时，z＝2x＋3y取得最小值．从图中可以看出，顶点B是直线x＝－3与直线y＝－4的交点，其坐标为(－3，－4)；当把l向上平移时，所对应的z＝2x＋3y的函数值随之增大，所以直线经过可行域的顶点D时，z＝2x＋3y取得最大值．解方程组－4x＋3y＝12，4x＋3y＝36，第7页共11页可以求得顶点D的坐标为(3,8)．此时，顶点B(－3，－4)与顶点D(3,8)为最优解．所以zmin＝2×(－3)＋3×(－4)＝－18，zmax＝2×3＋3×8＝30.(2)可行域同(1)(如图11阴影部分)．图11作直线l0：－4x＋3y＝0，把直线l0向下平移时，所对应的z′＝－4x＋3y的函数值随之减小，即z＝－4x＋3y－24的函数值随之减小，从图11可以看出，直线经过可行域顶点C时，z′＝－4x＋3y取得最小值，即z＝－4x＋3y－24取得最小值．顶点C是直线4x＋3y＝36与直线y＝－4的交点，解方程组y＝－4，4x＋3y＝36，得到顶点C的坐标(12，－4)，代入目标函数z＝－4x＋3y－24，得zmin＝－4×12＋3×(－4)－24＝－84.由于直线l0平行于直线－4x＋3y＝12，因此当把直线l0向上平移到l1时，l1与可行域的交点不止一个，而是线段AD上的所有点．此时，zmax＝12－24＝－12.点评：(1)有条件的可用图形计算器或数学软件作出可行域，并动态显示目标函数的变化情况，进而直观地判断最优解．(2)二元线性规划问题中，最优解可能有无数多个．(3)设目标函数z＝Ax＋By＋C，在约束条件下，当B＞0时，求目标函数z＝Ax＋By＋C的最小值或最大值的求解程序为：①作出可行域；②作出直线l0∶Ax＋By＝0；③确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；④解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值．知能训练课本本节练习11～4.课堂小结1．由学生归纳整合本节学习的相关内容，重点探究了目标函数中y的系数大于0的情况．2．教师简要强调，线性规划问题求解的格式与步骤．主要是寻找线性约束条件，目标函数，画出可行域，在可行域内求目标函数的最优解．作业课本习题3—4A组5.设计感想1．本教案设计强调多媒体教学．新大纲明确指出：要积极创造条件，采用现代化的教学手段进行教学．根据本节知识本身的抽象性以及作图的复杂性，为突出重点、突破难点，增加教学容量，激发学生的学习兴趣，增强教学的条理性、形象性，本节课采用计算机辅助教学，以直观、生动地揭示可行域以及平移直线的动态变化情况．2．优化教学过程．根据本节