北航数学二学位常微方程复习-1

常微分方程复习课王进良1．变量分离方程、变量变换变量分离方程：)()(ygxfdxdy若0)(yg，则有dxxfygdy)()(，所以，cdxxfygdy)()(另外，0)(0yg，0yy也是解。齐次方程：)(xygdxdy令，uxy，则原方程化为xuugdxdu)(，是变量可分离方程，求其通解后，再将u换为xy，得到原方程的通解。另外，若00)(uug，xuy0也是解。可化为齐次方程：)(222111cybxacybxagdxdy（1）若021cc，则)()//(2211xyhxybaxybagdxdy是齐次方程（2）若kbbaa2121，则)())((22222122ybxahcybxacybxakgdxdy。令，uybxa22，则)(2uhadxdu是变量分离方程（3）若02211baba，则，令，yYxX，其中，),(满足00222111cybxacybxa，原方程化为)()//(2211XYhXYbaXYbagdXdY2．一阶线性微分方程一阶齐线性方程：yxPdxdy)(通解（全部解）dxxPcey)(一阶非齐线性方程：)()(xQyxPdxdy通解（全部解）dxexQceydxxPdxxP)()()(，常数变易法Bernoulli方程：nyxQyxPdxdy)()(令，nyz，原方程化为)()1()()1(xQnzxPndxdz3．恰当方程、积分因子对称式方程：0),(),(dyyxNdxyxM若xNyM，此方程是恰当方程，通解为：cdydxyxMyyxNdxyxM]),(),([),(或解方程组：cyxuNyuMxu),(或分项组合法求解：记住几个常用的全微分公式。积分因子的求法：若)(xNxNyM，则积分因子dxxex)()(若)(yMxNyM，则积分因子dyyey)()(4．一阶隐方程（1）),(pxfy，其中dxdyp两边对x求导，dxdpffppx，是显式方程，按以前的方法求解若解为),(cxp，则原方程的解为：)),(,(cxxfy。若解为)),(cpx，则原方程的解为：)),,((),(pcpfycpx。若解为0),,(cpx，则原方程的解为：),(0),,(pxfycpx。（2）),(pyfx，其中dxdyp两边对y求导，dydpffppy1，是显式方程，按以前的方法求解若解为0),,(cpy，则原方程的解为：),(0),,(pyfxcpy。（3）0),(pxF，其中dxdyp参数化：)()(tptx，得到，dtttpdxdy)(')(，dttty)(')(。则原方程的解为：cdtttytx)(')()(。（4）0),(pyF，其中dxdyp参数化：)()(tpty，得到，dtttdypdx)()('1，dtttx)()('。则原方程的解为：cdtttxty)()(')(。5．一阶微分方程界的存在唯一性定理定理：如果),(yxf在}||,|||),{(00byyaxxyxR上连续，且关于y满足Lipschitz条件：|||),(),(|2121yyLyxfyxf，),(1yx，Ryx),(2，0L，则方程),(yxfdxdy存在唯一的解)(tx，定义在区间],[00hxhx上，连续且满足初始条件00)(yx，其中},min{Mbah，|),(|max),(yxfMRyx。证明思路：（1）先证00)(),(yxyyxfdxdy的解等价于xxdxyxfyy0),(0的连续解。（2）证明积分方程的解存在唯一任取00)(yx，令，xxdxxxfyx0))(,()(001若)()(01xx，则)(1x是积分方程的解；否则令，xxdxxxfyx0))(,()(102若)()(12xx，则)(2x是积分方程的解；否则重复上述步骤，一般地，作函数(*)))(,()(010xxnndxxxfyx，得到函数序列)}({xn，若对于某个n，)()(1xxnn，则)(xn是积分方程的解若没有上述情况发生，则可以证明：)()(limxxnn，一致成立。对于（*）两边取极限:xxdxxxfyx0))(,()(0.)(x是积分方程的解。注：)(xn是n次近似解，且1)!1(|)()(|nnnhnMLxx6．奇解（积分曲线的包络）求微分方程：0)',,(yyxF的奇解0),,(0),,(pyxFpyxFp消去p得到微分方程的p曲线在进一步验证，若是解曲线，则是奇解；否则不是奇解。特别地，Clairaut方程：)(pfxpy通解：)(cfcxy奇解：)()('pfxpypfx7．线性微分方程的解的结构)1.4()()()()(1111tfxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn)2.4(0)()()(1111xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn存在唯一性定理：叠加)(,),(1txtxn是（4.2）的解)()(11txctxcnn是（4.2）的解（4.2）的解)(,),(1txtxn在],[ba上线性无关在],[ba上0],,[)(1nxxWtW，],[bat。（)(tW在[a,b]恒为0，或恒不为0）齐线性方程通解定理：)(,),(1txtxn是（4.2）的n个线性无关解，则（4.2）的通解（所有解）可表示为：)()()(11txctxctxnn注：全体解构成一个n维线性空间非齐线性方程解的性质：（i）(4.1)的解与(4.2)的解之和为(4.1)的解。（ii）(4.1)的两解之差为(4.2)的解。非齐线性方程通解定理：)(,),(1txtxn是（4.2）的n个线性无关解，而)(tx（4.1）的解，则（4.2）的通解（所有解）可表示为：)()()(11txctxctxnn。已知（4.2）的基本解组)(,),(1txtxn，用常数变易法求（4.1）的解)()(')('0)(')(')1()1(1111tftxctxctxctxcnnnnnn)('tciiiiidttc)(8．常系数齐线性微分方程的解法)19.4(01111xadtdxadtxdadtxdnnnnnn特征方程：0111nnnnaaa（1）单个实特征根，对应（4.19）的一个解：te1；（2）单个复特征根i，对应（4.19）的两个解：tetcos，tetsin；（3）k重实特征根，对应（4.19）的k个解：tkttettee1111,,,；（4）k重复特征根i，对应（4.19）的k2个解：tetttetetkttcos,,cos,cos1，tetttetetkttsin,,sin,sin1；由此可以找到（4.19）的n个线性无关解，即基本解组。Euler方程：)29.4(011111yadxdyxadxydxadxydxnnnnnnnn通过tex，可以将（4.29）化为（4.19）的形式。特征方程：0)2()1()1()1(11nnaKanKKKanKKKk重实根0K对应（4.29）的k个线性无关解：||ln,|,|ln,1000xxxxxkKKK。k重复根i对应（4.29）的k2个线性无关解：|)|lnsin(||ln,|),|lnsin(||ln|),|lnsin(|)|lncos(||ln,|),|lncos(||ln|),|lncos(11xxxxxxxxxxxxxxxxkk。9．常系数非齐线性微分方程的解法)32.4()(1111tfxadtdxadtxdadtxdnnnnnn比较系数法：（1）tmetPtf)()(，其中)(tPm是m次多项式有特解：)(tAetxmtk，其中，)(tAm是待定的m次多项式，k为作为特征根的重数（2）tettQttPtf]sin)(cos)([)(，其中)(),(tQtP是不高于m次多项式。有特解：tmmkettBttAtx]sin)(cos)([，其中，)(),(tBtAmm是待定的m次多项式，k为i作为特征根的重数Laplace变换法：令)]([)(txLsX，)]([)(tfLsF，并利用性质：0)()]('[xsXtxL，)1(001)()()]([nnnnxxssXstxL将（4.32）化为关于)(sX的代数方程，解出)(sX，再做Laplace逆变换得到)]([)(1sXLtx。10．高阶方程的降阶（1）0),,,,()()1()(nkkxxxtF令yxk)(，原方程化为kn阶方程0),,',,()(knyyytF（2）0),,'',',()(nxxxxF令yx'，则dxdyydtdxdxdydtdyx''，2222)('''dxdyydxydyx，一般地)(kx可以用11,,,kkdxyddxdyy表示出。原方程化为1n阶的方程0),,,,(11nndxyddxdyyxG（3）齐线性方程的降阶)2.4(0)()()(1111xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn若已知该方程的k个线性无关的解：)(,),(1txtxk令ytxxk)(，则原方程化为关于y的n阶齐线性方程，并且y的系数为零。再令'yz，得到关于z的1n阶齐线性方程和1k个线性无关的解：)')()((,,)')()((,)')()((121txtxtxtxtxtxkkkk。重复上述步骤：可以得到kn阶齐线性方程。特别地，二阶齐线性微分方程：0)()(22xtqdtdxtpdtxd若已知一个非零解)(1tx，则可以化为一阶齐线性方程，可解通解：])(1)[()(21211dtetxcctxxdttp（刘维尔公式）11．线性微分方程组解的存在唯一性定理n阶线性方程可以化为由n个一阶线性方程组成的方程组定理：设)(tA是nn方阵，)(tf是n维列向量，它们都在],[ba上连续，则对于],[0bat和任意n维列向量，方程组)()('tfxtAx存在唯一解定义在],[ba上且满足初始条件)(0tx。12．线性微分方程组的解的结构（1）齐线性微分方程组：)15.5()('xtAx叠加原理：)(,),(1txtxn是（5.15）的解)()(11txctxcnn是（5.15）的解（5.15）的解)(,),(1txtxn在],[ba上线性无关在],[ba上0],,[)(1nxxWtW，],[bat。（)(tW在[a,b]恒为0，或恒不为0）齐线性方程组通解结构定理：)(,),(1txtxn是（5.15）的n个线性无关解，则（5.15）的通解（所有解）可表示为：)()()(11txctxctxnn或表示为cttx)()(，其中基解矩阵))(,),(()(1txtxtn，c为任意列向量。注