北航机械优化大作业

现代机械优化设计授课老师：王春洁2014-12-17北京航空航天大学现代机械优化设计第1页目录第一部分一、一维优化方法..................................................................................................................21.进退法...............................................................................................................................22.格点法...............................................................................................................................23.牛顿法...............................................................................................................................24.二次插值...........................................................................................................................3应用原则：............................................................................................................................4二、多维无约束优化..............................................................................................................41.梯度法...............................................................................................................................42.二阶牛顿法与阻尼牛顿法...............................................................................................53.DFP变尺度法.....................................................................................................................64.单纯形法...........................................................................................................................6三、多维约束优化..................................................................................................................61.随机方向搜索法...............................................................................................................82.可行方向法.......................................................................................................................83.惩罚函数法.......................................................................................................................8第二部分一、采用有约束多维优化方法解决箱梁模板的设计问题................................................101.1问题的描述...................................................................................................................111.2多维约束优化...............................................................................................................14总结与致谢..............................................................................................................................18参考文献..................................................................................................................................19北京航空航天大学现代机械优化设计第2页第一部分本部分为简述学过的优化算法（一维，多维无约束，多维有约束）的选择方法及应用原则。一、一维优化方法1.进退法由单峰函数的性质可知，在极小点mx左边函数值应严格下降，而在极小值右边函数值应严格上升。因此，可从某一个给定的初始点0x出发，以初始步长0h沿着函数值的下降方向，逐步前进（或后退），直至找到相继的3个试点的函数值按“高---低---高”变化为止。2.格点法格点法是一种计算极其方便的方法，其迭代步骤可简要概括为把搜索区间等分成n个点12,,nxxx…,，计算各个点对应的数值，取出函数值最小的点的横坐标mx，之后，在mx两侧取临点11,mmxx，作为新的区间并判断11mmxxeps是否成立，倘若成立，则mx就是最优解，对应的函数值my即为最优值；若不成立则以11[]mmxx为新区间重复以上过程直到满足条件为止。3.牛顿法牛顿法是用切线代替弧，逐渐逼近函数根值的方法。当目标函数()fx有一阶连续导数并且二阶导数大于零时，在曲线'()yfx上作一系列切线，使之与x轴的脚垫(0)(1)(2)(3),,,......xxxx逐渐趋于'()0fx的根*x。对于一维搜索函数()yf，假定已经给出极小点的一个较好的近似点0，在0点附近用一个二次函数()来逼近函数()f：20000012ffff然后以该二次函数()的极小点作()f极小点的一个新的近似点1。根据极值必要条件：0即：0000ff可得：0100ff依次继续下去可得到牛顿迭代公式：10,1,2,...kkkkfkf其具体计算步骤概括为：北京航空航天大学现代机械优化设计第3页1)给定初始点0，控制误差，并令0k;2)计算'()kf，''()kf；3)根据牛顿迭代公式求1k；4)若1kkaa则求得近似解*1kaa，停止计算，否则转到5）；5)令1kk转到1）。4.二次插值二次插值是多项式逼近法的一种。所谓多项式逼近，是利用目标函数在若干点的信息(函数值，导数值等)，构成一个与目标函数值很接近的低次插值多项式，然后利用该多项式的最优解作为函数的近似最优解，随着区间的逐次缩短，多项式函数的最优点与原函数最优点之间的距离逐渐减小，直到满足一定的精度要求时迭代终止。设原目标函数在123xxx的三个点对应的函数值123()()()fxfxfx则可作出如下多项式：2012()Pxaaxax多项式()Px的极值点可从极值的必要条件求得：12'()20pPxaax即：122paxa又由于：21012221Pxaaxaxfx22012222Pxaaxaxfx23013233Pxaaxaxfx根据以上各式可知：113212pcxxxc式中：31131fxfxcxx21121223fxfxcxxcxx以上是插值法的公式推导过程，根据其基本思想概括其迭代过程如下：1)确定初始搜索区间，定出初始插值结点；2)利用式与计算px与()pfx；3)终止条件判断当2||pxx时，如果2()()mfxfx，则mx为所求的极小点；如果2()()mfxfx，则2x为所求的极小点；北京航空航天大学现代机械优化设计第4页当2||pxx时，则需比较2(),()mfxfx的大小，以便在123,,,mxxxx中丢掉1x或3x，得到新的三点，然后再转2)。应用原则：一维优化算法是求一维目标函数的最优点和最优值。求单变量的极值问题，但是在很多时候函数的求导很困难，甚至根本不可导，而且计算机不擅长求导，求导是用其他算法实现的，计算量大，需要的时间长。所以在优化过程中一般不采用解析法而采取直接探索法求最优点。这种求优方法称为一维优化方法。求解一维的最小值一般分为两步。第一步是确定函数值最小值所在的区间[a,b]，称为搜索区间；第二步是在该区间内求出最优步长因子或最优值。确定搜索区间的方法：进退法、外推法。一维最优化算法分有格点法、二次插值法、三次插值法等。格点法结构和程序很简单，但效率偏低；二次插值法和三次插值法的搜索效率较高，收敛速度较快，调用函数次数少。三次插值法的效率比二次插值法更高，在同样搜索次数下，其精度更高，但程序复杂，可靠性差些，对高维数的优化问题更适宜，经过某些技术处理，方法的可靠度可以大为提高。二、多维无约束优化1.梯度法函数的梯度方向是函数值增加最快的方向，则负梯度方向必然是函数值下降最快的方向，所以在优化中采取负梯度矢量作为一维搜索的方向，成为最速下降法，也叫一阶梯度法。（此法属于解析法，既间接求优法）梯度法的迭代过程简单，对初始点的选择，要求不高。梯度方向目标函数值下降迅速只是个局部性质，从整体来看，不一定是收敛最快的方向。以二维二次函数为例，相邻两次的搜索方向是正交的，所以搜索路径是曲折的锯齿形的；对于高维的非线性函数，接近极值点处，容易陷入稳定的锯齿形搜索路径。目标函数在点kx的梯度为：T12......kkkknffffxxxxxxx搜索方向为梯度方向：kkkffxsx北京航空航天大学现代机械优化设计第5页梯度法的迭代公式为：1kkkkkkkkffxxxsxx式中：ks是函数()fx在迭代点kx处的梯度；()k最优化步长。概括其迭代过程为：1）任选初始迭代点(0)x，选定收敛精度，令0k；2）确定()kx点的梯度()()k