刹车距离与二次函数教学设计

《刹车距离与二次函数》教学设计宁夏银川市回民中学杨子鸣课题：北师大版义务教育课程标准实验教科书九年级数学（下册）第二章§3、刹车距离与二次函数课时：1课时一、教学目标：1、经历二次函数2axy和caxy2的图象的作法和性质的探索过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验。2、能作出二次函数2axy和caxy2的图象，比较它们与2xy的异同，理解a与c对二次函数图象的影响。3、能说出二次函数2axy和caxy2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。4、在探究活动中，增强合作交流意识，积累利用图象研究函数性质的经验，体会二次函数是某些实际问题的数学模型，进一步发展观察、抽象概括能力，数形结合解决问题的能力。二、教学重点、难点：重点：能作出二次函数2axy和caxy2的图象，能说出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。难点：归纳二次函数2axy和caxy2的图象特征和性质，理解a与c对二次函数图象的影响。三、教学方法教法：引导发现教学法、直观教学法。学法：动手操作、自主探索、合作交流。四、课前准备多媒体课件、坐标纸若干张五、教学过程设计活动一：情境导入，体验模型（一）课题引入1、引入：你知道两辆汽车在行驶过程中为什么要保持一定的距离吗？汽车刹车时向前滑行的距离（称为刹车距离）与什么因素有关？2、明晰：影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数。有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式21001vs确定；雨天行驶时，这一公式为2501vs。3、设问：在公式21001vs与2501vs中，s是v的二次函数吗？它们的图象是怎样的？如何作出它们的图象呢？4、出示课题：21001vs与2501vs是二次项系数不等于1的二次函数，本节课我们进一步研究这种二次函数的图象和性质——《刹车距离与二次函数》。（二）经历作图1、（1）提出问题1：在公式21001vs与2501vs中，v可以取任意值吗？为什么？你怎样画出它们的图象呢？（2）完成下表：v（km/h）02040608010012021001vs(m)v（km/h）0204060801001202501vs(m)2、学生活动：分组计算，交流结果。3、师生明晰：（1）在公式21001vs与2501vs中，汽车都有其最高时速，因此不能任意取值，在通常情况下，v在0～120内取值。（2）用描点法作出函数的图象经历三个步骤：列表、描点、连线。（3）以表格中自变量与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描点，连线，得到它们的图象是一段曲线段。（4）幻灯片展示21001vs与2501vs图象。（三）比较图象1、提出问题2：21001vs和2501vs的图象有什么相同和不同？2、学生活动：小组讨论，全班交流。3、师生明晰：（1）相同点：都是一段曲线；都位于s轴的右侧；函数值都随v的值的增大而增大；等（2）不同点：2501vs的图象位于21001vs的图象的内侧；前者的函数值的增长速度比后者快等。（四）解决问题1、提出问题3：如果行车速度是60km/h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？你是怎么知道的？2、学生活动：小组讨论，全班交流。3、师生明晰：（1）观察表格中的对应值，当v=60km/h时，晴天s=36m，雨天s=72m，相差36m。或通过代入函数关系式中，计算可得相差36m。（2）观察图象可得相差36m。（电脑动画演示由图象得出的结果）学生经历探究二次函数21001vs与2501vs的图象作法及比较它们的图象特点的过程，初步感知a对二次函数图象的影响，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验，初步体会二次函数是某些实际问题的数学模型。活动二：操作实践，探究新知（一）做一做：作出二次函数22xy的图象。1、思考：二次函数22xy中，自变量x可以取哪些值？（1）完成下表：x22xy（2）在所给的坐标系中作出22xy的图象。（坐标系中画有2xy的图象）2、学生活动：填表、作图。3、全班交流：多媒体展示同一直角坐标系中22xy与2xy的图象。（二）探究：二次函数22xy的图象特征及性质。1、提出问题4：二次函数22xy的图象是什么形状？它与二次函数2xy的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？2、学生活动：小组讨论，全班交流。3、师生明晰：（1）相同点：二次函数22xy的图象是抛物线，开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，0），它与二次函数2xy的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标都相同。都是轴对称图形。都是当x0时，y随x的值的增大而减小；当x0时，y随x的值的增大而增大；（2）不同点：二次函数22xy的图象在2xy的图象的内侧，说明22xy的函数值的增长速度较快。（三）议一议：二次函数2axy的图象特征及性质。1、分步提出问题5：（1）二次函数221xy的图象是什么形状？它与二次函数2xy的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？作图看一看。（2）二次函数22xy的图象与二次函数22xy的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？先想一想，再作图验证你的猜想。（3）二次函数2axy的图象是什么形状？它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？2、学生活动：（1）交流221xy的图象特征。（2）作出22xy的图象，折叠验证其对称性，交流22xy的图象特征。（3）小组讨论二次函数2axy的图象特征。3、师生明晰：（1）多媒体展示221xy，2xy，22xy，22xy的图象。108642-2-4-6-10-5510X图1二次函数y=ax2的图象x2y=12x2y=15y=2x20y8642-2-4-6-8-10-5510y=-2x2y=2x2图2y=2x2与y=-2x2的图象0yx（2）几何画板演示：a的变化对二次函数2axy的图象开口方向及开口大小的影响。（3）归结二次函数2axy的图象特征及性质。开口方向对称轴顶点坐标变化趋势2axya0向上y轴(0，0)在y轴左侧，y随x的增大而减小，在y轴右侧，y随x的增大而增大。a0向下y轴(0，0)在y轴左侧，y随x的增大而增大，在y轴右侧，y随x的增大而减小。此活动分三个环节进行，给学生充分探索和交流的时间和空间。环节（一）让学生经历作图过程，会用描点法作出二次函数22xy的图象。环节（二）学生经历探究22xy的图象特征的过程，折叠验证22xy的图象的轴对称性，在与2xy的图象对比中，通过小组讨论交流，能较完整地描述二次函数22xy的图象特征及性质，初步感知a对二次函数的图象的影响。环节（三）以层层递进的问题，引导学生发现、抽象概括二次函数2axy的图象特征和性质，并以几何画板课件的动态演示，使学生直观感知a的正负对开口方向的影响，|a|的大小对开口大小的影响，体会a对二次函数的图象的影响，进而由具体函数抽象概括出二次函数2axy的图象和性质。活动二过程的安排，符合从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程。活动三：验证猜想，发现规律（一）探究：二次函数122xy的图象特征及性质。1、（1）作出二次函数122xy的图象。（2）提出问题6：二次函数122xy的图象与二次函数22xy的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？2、学生活动：（1）在画有22xy的图象的直角坐标系中完成作图。（2）小组讨论交流二次函数122xy的图象特征及性质。3、师生明晰：二次函数122xy的图象的开口向上，关于y轴对称，顶点坐标（0，c）。22xy的图象向上平移1个单位可与122xy的图象重合。（二）议一议：探究二次函数caxy2与二次函数2axy的图象的关系。1、分步提出问题7：（1）二次函数322xy的图象与二次函数22xy的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？（2）二次函数2axy的图象经过怎样的平移可得到caxy2的图象呢？2、学生讨论，猜想（2）（3）结论。3、全班交流。（1）展示122xy，22xy，322xy的图象。（2）几何画板动态演示三个图象平移重叠的过程。（3）归纳二次函数2axy的图象经过怎样的平移可得到caxy2的图象的规律。4、师生明晰：（1）二次函数caxy2的图象与二次函数2axy开口方向、对称轴相同，顶点坐标不同。二次函数caxy2的图象的顶点坐标是（0，c）。（2）二次函数2axy的图象经过上下平移可得到caxy2的图象。8642-2-4-6-10-5510y=2x2y=2x2+1y=2x2-3y=2x2+4图3x当c0时，二次函数2axy的图象向上平移c个单位，得到caxy2的图象。当c0时，二次函数2axy的图象向下平移|c|个单位，得到caxy2的图象。活动三分两个环节给出，采用动手操作、小组合作交流，动画操作验证猜想的方式进行。学生作出122xy的图象，说出其图象特征，同桌两人合作，通过平移发现122xy与22xy的图象能够重合的结论。在经历了具体函数的作图及关系比较的基础上，通过几何画板的动画演示，验证二次函数2axy的图象经过上下平移可得到caxy2的图象事实。在此过程中，不仅要让学生观察图象，比较函数图象的相同点和不同点，而且要引导学生从具体函数入手，对比分析表达式之间的关系，图象之间的关系，从中发现上下平移的规律，体会c对二次函数图象的影响。活动三使学生亲历“做数学”的过程，在验证交流中自主探究和直观感知，逐步从感性认识上升到理性认识，最终实现从表达式上看出平移的方向和距离，理解a与c对二次函数图象的影响这一目标。活动四：练习反馈，总结升华（一）练习：1、填空：二次函数252xy的图象形状是，开口方向是，对称轴是，顶点坐标是。2、二次函数2xy，12xy，22xy的图象间有什么关系？（二）填表：开口方向对称轴顶点坐标)0(2aaxya0a0)0(2acaxya0a0此活动以练习巩固新知，以填表方式总结一般规律，并利用此表格小结本节课。目的是帮助学生整理探究结果，从感性认识上升到理性思考。课堂小结：当c0时，向上平移c个单位当c0时，向下平移|c|个单位1、提出问题：（1）本节课在知识方面你有哪些收获？（2）这节课你积累了哪些数学活动经验？2、学生交流。3、师生明晰：（1）二次函数2axy与caxy2的图象特征。抛物线开口方向对称轴顶点坐标)0(2aaxya0向上y轴（0，0）a0向下y轴（0，0）)0(2acaxya0向上y轴（0，c）a0向下y轴（0，c）（2）二次函数2axy的图象与caxy2的图象的关系。)0(2aaxy)0(2acaxy通过小结，培养学生整理知识的能力，明确知识的形成过程，构建认知结构。在学生充分反思交流的基础上，我从知识内容、探究图象之间的关系的方法、函数关系式与图象之间的关系三个方面给予提升，使学生能感知、体会到二次函数2axy，caxy2图象之间的内在联系。布置作业A类：P45课本习题2·3第2题：二次函数221xy的图象与221xy的图象有什么关系？二次函数3212xy的图象与221xy的图象呢？B类：复习题P73第3题：正方形的边长为x，面积为S，周长为C.（1）分别写出S，C与x的关系式；（2）在同一直角坐标系中作出（1）中两个函数图象，比较它们的变化趋势；（3）你所作的函数2xS的图象与函数2xy的图象有何不同？为什么？分层次设计作业是满足不同层次学生的需求，体现不同的人在数学上得到不同的发展的理念。