力学第二次作业答案_705906640

2.4如图所示，质量为m1=60kg的人,站在质量为m2=40kg的木板上,竖直向下拉住滑轮系统的一根绳子,滑轮系统的大滑轮固定在天花板上.处于平衡状态.忽略绳、轮质量和轴上摩擦,求：人对绳子的拉力F.解：由于滑轮平衡且无摩擦,所以滑轮两端绳拉力相等.如图在定滑轮两端将绳切断,由动轮、人板平衡得2T=(m1+m2)g由动轮平衡,2F=T,于是得人的拉力为F=(m1+m2)g/4=245N.2.7如图，两个物体质量分别为m1=15kg、m2=20kg,楔角=45.作用在物体m1上的水平力F=280N.处处光滑.求：m1、m2的加速度a1、a2,以及两个物体之间的相互作用力N.解：由约束条件a1,a2方向如图对m1,x方向：FNsin=m1a1对m2,y方向：Ncosm2g=m2a2.垂直于斜面方向上m1、m2加速度相同,得a1sin=a2cos于是得：a1=(Fcos2-m2gsin2/2)÷(m1cos2+m2sin2)=(Fm2g)/(m1+m2)=2.4m/s2=a2N=(m2a2+m2g)/cos=345N2.14如图,质量为M的木板置于水平桌面上,左端与桌面对齐,木板上放置一个质量为m的小花瓶,花瓶与木板左端距离为l,桌面长为L.木板与花瓶和木板与桌面摩擦系数都是,花瓶与桌面的摩擦系数也和其他摩擦系数相同，不考虑木板厚度。.在木板上加水平恒力F,从静止开始拉木板,求使M抽出而m不落地的最小力Fmin.解：若F则aM，M抽走而m几乎不动；所以Fmin为恰使m脱离M后在桌面上滑到桌边停止的力.下面讨论这种临界情况.m脱离M前在木板上滑动加速度和m脱离M后在桌面上滑动加速度大小相同为am=g，方向相反.因此m在木板上滑动的距离与时间和在桌面上滑动的距离与时间相等.所以m被拉动的距离为(L-l)/2.m2图2.4题m1FFm22.4题解m1TTFm1m2图2.7题Oa1Fm1m22.7题解a2NNN’yxLFlmM图2.14题设木板拉动m的时间(即m在木板上滑动的时间)为.则(L-l)/2=am2/2在木板拉动m这段时间里对M：Fminmg(m+M)g=MaM得aM=[Fmin(M+2m)g]/M在这段时间里M运动距离为l+(L-l)/2=(L+l)/2=aM2/2，所以aM/am=(L+l)/(L-l)将aM、am代入得Fmin=2g[m+M+Ml/(L-l)]2.15质量分别为m、M(mM)的两人,分别拉住跨在定滑轮上的绳子两端,从静止开始向上爬.设开始两人到定滑轮的距离都是h0.求:当质量为m的人经过时间爬到滑轮处时,质量为M的人与滑轮的距离hM.解:设绳子张力为T。对m:T-mg=mam对M:Mg-T=maM消去T后得mam+MaM=(M-m)g上式两边积分t0dt得:mvm+MvM=(M-m)gt上式两边积分0dt得:mh0+M(hM-h0)=(M-m)g2/2其中0vmdt=h0,0vMdt=hM-h0.由此得hM=(M-m)(h+g2/2)/M2.20如图，小物体放在一个绕竖直轴以匀角速度转动的漏斗壁上，漏斗壁与水平面成角，小物体和壁间的静摩擦系数为，小物体中心与轴的距离为r。为使小物体相对于漏斗壁静止，角速度应当满足什么条件解：以漏斗为转动非惯性系S’系。在S’系m静止，所受四力N、f、FI、mg平衡。FI=m2r为惯性离心力,f为静摩擦力。对m,沿漏斗壁母线方向，以向下为正mgsin+f-FIcos=mgsin+f-m2rcos=0f=m2rcos-mgsin对m,沿漏斗壁主法线方向,正压力N=m2rsin+mgcos由-NfN得[(sin-cos)g/(cos+sin)r]1/2[(sin+cos)g/(cos-sin)r]1/2当-Nf0即[(sin-cos)g/(cos+sin)r]1/2(gtan/r)1/2时,小物体有下滑趋势当0fN即(gtan/r)1/2[(sin+cos)g/(cos-sin)r]1/2时,小物体有上滑趋势2.21一卡车在笔直水平的公路上以不变的加速度a前进，车上有一光滑斜面，倾斜角为=30，斜面上放有一物体，质量为m=1.0kg。设站在路旁的人观察到物体正在竖直下落，r图2.20题mTTMamaM图2.15题a求：(1)物体相对于地面的加速度am和物体相对于车的加速度am’;(2)物体对斜面的正压力N.解：以卡车为平动非惯性系S’.(1)由相对运动关系(见图)得am=am’sin=am’/2a=am’cos对物体,沿斜面方向mam’=FIcos+mgsin=macos+mgsin=mam’cos2+mgsin其中利用了上式.于是得am’sin=gam’=2gam=am’/2=g(2)对物体,沿斜面法线方向N+FIsin=mgcos得N=mgcos-FIsin=m(gcos-asin)=mcos(g-am’sin)=02.22质量为m、电量为q的点电荷，受到沿x方向的变化电场E=E0costxˆ的作用,其中E0、都是常量。设t=0时刻点电荷静止在x轴原点，不计重力，求电荷在任一时刻的速度v和位置x。解：对点电荷，沿x方向ma=m(dv/dt)=qE0cost即dv=qE0costdt/m两边积分v0dv=t0qE0costdt/m得v=qE0sint/m由v=dx/dt=qE0sint/m即dx=qE0sintdt/m两边积分x0dx=t0qE0sintdt/m/m得x=qE0sint/m=qE0(1-cost)/m22.26从地面发射质量为m的子弹,初速为v0、仰角为45.设空气阻力f=mkv,其中k为正常数.求：当子弹的速度与水平成俯角45○时子弹与发射点的水平距离s.解：建立坐标系O-xy,取发射点为原点O,x轴水平,y轴竖直向上.则vx0=vy0=v0/2x方向:mkvx=m(dvx/dt)(1)y方向:mgmkvy=m(dvy/dt)(2)由(1):0tkdt=xxvv0dvx/vx得vx=12v0ekt类似由(2)得:vy=[(g+12kv0)ektg]/k设时刻子弹的速度与水平成俯角45○,即-vy=vx得:ek=g/(g+2kv0)s=x=0vxdt=v0(1ek)/(2k)=v02/(g+2kv0)2.31以v0竖直上抛质量为m的质点,空气阻力的大小为f=k2mgv2(k为正常数).求证物体回到上抛点时速度为v=v0/(1+k2v02)1/2证明：由于fv2所以按v的方向分两段考虑.向上,见(a)图,坐标y向上：yHv=0v0OfHO’y'fv(a)(b)图2.31题图2.21题ammgmgk2v2=m(dv/dt)=m(dv/dy)(dy/dt)=mv(dv/dy)0Hgdy=v00v(1+k2v2)1dv得：2kgH=ln(1+k2v2)向下,见(b)图,坐标y’向下：mgmgk2v2=m(dv/dt)=mv(dv/dy)类似积分得：2kgH=ln(1k2v2)所以:ln(1+k2v2)=ln(1k2v2)得：v=v0/(1+k2v02)1/22.32如图，在一与水平方向成=10的斜坡上，一辆车以a=0.30m/s2的加速度向上行驶，车内有一质量m=0.20kg的小球用绳挂在车顶棚上，试分别以地面为参照系和以车为参照系，求绳与竖直方向夹角和绳内张力T。解:(1)以地面为参照系.对m,设绳子张力为T.沿斜面向上方向Tsin(+)-mgsin=ma垂直斜面向上方向Tcos(+)-mgcos=0由上面两式得tan(+)=(a+gsin)/gcos=0.2074=11.71-=1.71=143’T=m[(a+gsin)2+(gcos)2]1/2=m(a2+2gasin+g2)1/2=1.97N(2)以车为参照系.m受力平衡.设绳子张力为T.m受惯性力FI=-ma在与绳垂直的方向上FIcos(+)=macos(+)=mgsin即a(coscos-sinsin)=gsin于是tan=acos/(asin+g)=0.029988=1.718=143’在绳的方向上T=FIsin(+)+mgcos=m[asin(+)+gcos]=1.97N2.33在一以a匀加速度水平前进的火车中，在火车速率为v0时刻,有一水滴从高度为h的顶棚上A点自由地落到地板上。分别以车厢为参照系和地面为参照系，计算水滴下落过程中的水平位移.解:设水滴开始下落瞬间，A点竖直下方为B点(车厢地板上)和C点(在地面上).水滴落在车厢地板上的D点.以车厢为参照系水滴水平位移为BD.以车厢为参照系,水滴受惯性力FI=-ma=ma’,于是水滴水平加速度a’=-a,水平位移(大小为BD)为a图2.32题mCaACABBD2.33题解haAA图2.33题ha2.32题解mmgFIs’=a’t2/2=-ah/g,位移方向与车前进方向相反.以地面为参照系，水滴作初速为v0的平抛运动,水平位移(大小为CD)为s=v0t=(2h/g)1/2v0而B点位移=v0t+at2/2所以BD=B点位移-水滴位移=at2/2=ah/g2.38水平圆盘绕过圆心O的竖直轴以匀角速转动.在盘面上有一个直槽,圆心到直槽的距离为d.质量为m的玩具小车从槽中心以相对圆盘恒定的速度u沿槽运动.设槽的侧壁光滑,求:小车离开盘面前受到的槽侧壁对其作用力N,以及槽底部摩擦力f与时间t的关系(取小车开始运动时刻为t=0).解:以圆盘为参考系.建立如图坐标系O-x’y’z’.FI离=m2rFc=2mu方向如图对m,x’方向f+FI离cos=0f=-FI离cos=-m2x’=m2ut其中x’=-ut对m,y’方向N+Fc+FI离sin=0N=-(Fc+FI离sin)=-m(2u+d)3.7有人提出“地球同步缆绳”的设想，即在地球赤道上竖立一根均匀(截面相同,密度均匀)缆绳,随地球同步转动而不坠落.求：(1)要使缆绳不坠落，其最短长度l.(2)若缆绳为最短长度时恰不断裂,计算材料抗拉应力与密度之比。解:以地球为转动非惯性参考系.缆绳静止,所受惯性力只有惯性离心力(体积力);同样质元,离得越远所受惯性离心力越大.缆绳受地球引力也是体积力,同样质元,离得越远所受地球引力越小.因此当缆绳所受惯性离心力之和等于所受引力之和时缆绳恰好可以竖立,此时长度为最短长度l(1)设缆绳横截面积为S,质量密度为;地球质量为MmudO图2.38题x'ury'OFc2.38题解dFI离rzRrl+R3.7题解F离心力=lRRS2rdr=S2l(2R+l)/2F引力=lRRGSMdr/r2=GSMl/[R(R+l)]由F离心力=F引力得2R(2+x)=2GM/[R2(1+x)]其中x=l/R.由GM/R=g0=289.52R得x2+3x-577=0l/R=x=22.6l=22.6R=1.44108m(2)设在r处切开,则截面上的内力F(r)=F上段离心力-F上段引力=lRrS(2r-GM/r2)dr当r从R增加到R+l的过程中，被积函数从负到零到正单调增加.显然,使被积函数为零的r0处F(r0)最大：2r0-GM/r02=0得r0=5.6RFmax=F(r0)=lRr0S(2r-GM/r2)dr=S[2(L2-r02)/2-GM(1/r0-1/L)]其中L=l+R.缆绳最大拉应力max=F(r0)/S(单向应力状态)若最短长度时恰不断裂,则材料抗拉应力抗=max抗/=F(r0)/S=2(L2-r02)/2-GM(1/r0-1