关于线性变换值域与核的问题研究

毕业设计（论文）题目：关于线性变换值域与核的问题研究学生姓名：代婷学号：2012010128所在学院：金融与数学学院专业班级：数学与应用数学届别：2014届指导教师：赵启林关于线性变换的值域与核的问题研究2皖西学院本科毕业设计（论文）创作诚信承诺书1.本人郑重承诺：所提交的毕业设计（论文），题目《》是本人在指导教师指导下独立完成的，没有弄虚作假，没有抄袭、剽窃别人的内容；2.毕业设计（论文）所使用的相关资料、数据、观点等均真实可靠，文中所有引用的他人观点、材料、数据、图表均已标注说明来源；3.毕业设计（论文）中无抄袭、剽窃或不正当引用他人学术观点、思想和学术成果，伪造、篡改数据的情况；4.本人已被告知并清楚：学校对毕业设计（论文）中的抄袭、剽窃、弄虚作假等违反学术规范的行为将严肃处理，并可能导致毕业设计（论文）成绩不合格，无法正常毕业、取消学士学位资格或注销并追回已发放的毕业证书、学士学位证书等严重后果；5.若在省教育厅、学校组织的毕业设计（论文）检查、评比中，被发现有抄袭、剽窃、弄虚作假等违反学术规范的行为，本人愿意接受学校按有关规定给予的处理，并承担相应责任。学生（签名）：日期：年月日目录前言：..................................................................21线性变换与其对应的矩阵A之间的关系..................................22维数公式..............................................................33)0(1V)0(1VV)(成立的条件................................34已知线性变换的核和值域，构造其线性变换................................85关于两个线性变换,的值域和核相等的条件...............................96线性变换的核与最小多项式的关系.....................................127特殊线性变换的值域与核................................................13参考文献：.............................................................14皖西学院2014届本科毕业设计(论文)11线性变换的值域与核的研究学生：代婷（指导老师：赵启林）（皖西学院金融与数学学院学院）摘要：了解线性变换的一些基本概念，在此基础上为了探讨总结线性变换的值域与核的基本性质和关系，研究了线性变换与其对应的矩阵A之间的关系，维数公式以及已知线性变换的核和值域，构造其线性变换，)0(1)(V)0(1VV)(成立的条件，几个问题根据上述的关系和结论论述在线性空间或矩阵理论方面的应用如线性变换的核与最小多项式的关系关于两个线性变换,的值域和核相等的条件特殊线性变换的值域与核。关键词：线性变换；值域；核；线性空间；矩阵StudyofRangeandKernelofLinearTransformationStudent:DaiTing(FacultyAdviser：ZhaoQiling)(CollegeofBiologicalandPharmaceuticalEngineering,WestAnhuiUniversity)Abstract:Theunderstandingofsomebasicconceptsoflineartransformation,onthebasisoftherelationshipbetweenmatrixsummary,rangeandkerneloflineartransformationsandbasicpropertiesoflineartransformationandthecorrespondingrelationbetweenAdimensionformula,nuclearandrangeknownlineartransformation,constructthelineartransform,)0(1)(V()0(1VV)establishedconditions,accordingtothetheconclusiondiscussestherelationshipandapplicationinlinearspaceormatrixtheoryaspectssuchasnuclearandtheminimalpolynomialofAtothelineartransformationoftwolineartransformationsA,rangeandnuclearBrangeandkernelequalconditionsofspeciallineartransformation,Keywords:lineartransform;domainkernel;linearspace;matrix关于线性变换的值域与核的问题研究2前言：为了后面叙述的方便，本文约定：P表示一个数域，V表示数域P上的一个n维线性空间，,表示V上的一个线性变换，n,,,21表示V上的一组基，A表示,在基n,,,21下所对应的矩阵，V表示V上的所有线性变换构成的集合。由线性变换的理论知，它构成了一个线性空间；nAAA,,,21表示矩阵A的第1列、第2列，，第n列的列向量，sL,,,21表示由向量组s,,,21生成的子空间；)(V表示线性变换的值域，即({)V}|)(V;)0(1表示线性变换的核，即|)0(10)(}，Wdim表示线性空间的维数。1线性变换与其对应的矩阵A之间的关系。向量组nAAA,,,21与向量组nBBB,,,21等价，因而由向量根据上述的约定则有：Ann),,,(),,,(2121作映射：A，即)(A有线性变换的理论可得：是)(V到nnP的一个同构映射。如果：)0(1，此时可设Xxxxnnn,,,,,,212121,从而可得：(0,,,)21AXn，即0AX,反之也对。不妨记：nPXAXXA,0|01若果)(V，则存在V使得：)(，不妨设：YXnn),,,(,),,,(2121;由)(，可得：XAY，即在基n,,,21下的坐标X（列向量）是A的列向量组nAAA,,,21的一个线性组合，也即是：nAAALX,,,21，皖西学院2014届本科毕业设计(论文)33反之也是对的，即若nAAALX,,,21，,),,,(21Xn则)(V上述结果事实上证明了：命题1.1：如果n,,,21表示V上的一组基，A表示在基n,,,21下所对应的矩阵，则|{)0(10)(}与0|01AXXA同构，V与nAAAL,,,21同构，且n,,,21，与与nAAA,,,21有相同的线性关系.由同构的意义知，要研究)0(1和)(V只要研究nPXAXXA,0|01和nAAAL,,,21即可.2维数公式命题2.1维数公式：dim01dimnV证明：设：.rAr则dimrnA)0(1，又dimrArAAALn)(,,,21所以：dim)0(1AdimnAAALn,,,21由上述的同构关系，故：dim)0(1dimnV)(3)0(1)(V)0(1VV)(成立的条件命题3.1：如果A的行向量组n,,,21与TnTTAAA,,,21等价则)0(1)(V)0(1VV)(证明：假设：nPXAXXAX,0|01则TX与n,,,21正交，又有条件可得TX与TnTTAAA,,,21正交，即X与nAAA,,,21正交，即01AnAAAL,,,21从而：01A0,,,21nAAAL即01AnAAAL,,,2101AnAAAL,,,21关于线性变换的值域与核的问题研究4另一方面，有维数公式知：dim)0(1AdimnAAALn,,,21故：01AnAAAL,,,2101AnnPAAAL,,,21由前面所说的同构关系，从而可得：)0(1)(V)0(1VV)(例3.1：设121303121A，则A的行向量组：1,2,1;3,0,3;1,2,1321；A的列向量组321,,AAA,其转置为1,3,1;2,0,2;1,3,1321TTTAAA所以：TTTAAA22313123;6132)2,0,2(61)1,3,1(32这就是说，向量组321,,能被向量组TTTAAA321,,线性表示，同理向量组TTTAAA321,,也能被向量组321,,线性表示，因此向量组321,,能被向量组TTTAAA321,,等价，由命题3.1知)0(1)(V)0(1VV)(事实上：101|10101LPkkA,而,,,,21321AALAAAL因此01A321,,AAAL,,21AAL；而121003121,,21AA是非奇异矩阵，因此01A321,,AAAL01A321,,AAAL，再有同构关系可得：)0(1)(V)0(1VV)(推论1：如果A是一个对称矩阵，则)0(1)(V)0(1VV)(证明：由于A是对称矩阵，故A的行向量组TnnTTAAA,,,2211,因此A的行向量组n,,,21与TnTTAAA,,,21等价，所以得到证明。推论2：如果A是反一个对称矩阵，则)0(1)(V)0(1VV)(皖西学院2014届本科毕业设计(论文)55证明：由于A是反对称矩阵，故A的行向量组TnnTTAAA,,,2211，因此A的行向量组n,,,21与TnTTAAA,,,21等价，由命题3.1知结论成立。推论3：如果A是可逆的，则)0(1)(V)0(1VV)(证明：因为A可逆，因此A的行向量组n,,,21线性无关，而A的列向量组nAAA,,,21也线性无关，从而TnTTAAA,,,21线性无关，因此A的行向量组n,,,21与TnTTAAA,,,21等价，从而由命题3.1知结论成立。事实上，此时)0(1;0而VV)(命题3.2：如果存在正整数2k使得：AAk则：)0(1)(V)0(1VV)(证明：根据同构和直和的有关结论，只要证明：01A0,,,21nAAAL即可对于任意的nAAALAX,,,)0(211，可得0AX且X能够被nAAA,,,21线性表示，即存在Y使得：XAY，因此)(211AXAYAXAAYAkkkk根据条件AAk和0AX立即可得：0AY,又0XXAY，这就是说：01A