关于等式与不等式的基本证明

1关于等式与不等式的基本证明一、考试内容（一）介值定理介值定理：若)(xf在],[ba上连续，且()()fafb，对于(),()fafb之间的任一个数C，),(ba，使()fC．（,ab）介值定理推论1（零点定理）：若)(xf在],[ba上连续，且()()0fafb，则),(ba，使()0f．（,ab）介值定理推论2（零点定理）：若)(xf在(,)ab内连续，且()()0fafb，则),(ba，使()0f．（,ab）介值定理推论3（零点定理）：若)(xf在(,)内连续，且lim()lim()0xxfxfx，则),(ba，使()0f．（,ab）介值定理推论4：若)(xf在],[ba上连续，min()fxm，max()fxM，且Mm，对于,mM之间的任一个数C，则),(ba，使()fC．（可能取到a或b）（二）积分中值定理定积分中值定理：若)(xf在],[ba上连续，则(,)ab，使()()()bafxdxfba．定积分中值定理推论1：设)(),(xgxf在],[ba上连续，且()gx在],[ba上不变号，则(,)ab，使babadxxgfdxxgxf)()()()(．对于定积分中值定理及其推论1，可能取到a或b．（三）微分中值定理罗尔中值定理：若)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，且()()fafb，则),(ba，使()0f．罗尔中值定理的推广形式1：若)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，且)(xf有2n个不同的零点，则'()fx在),(ba内至少存在1n个不同的零点．罗尔中值定理的推广形式2：若)(xf在),(ba内可导，且()()faAfb，则),(ba，使()0f．罗尔中值定理的推广形式3：若)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，且'()0fx，则)(xf在),(ba内为单调函数．拉格朗日中值定理：若)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，则),(ba，使()()()()fbfafba．（四）不等式定理凹凸不等式TH1：()()0,fx则()((1))()((1)),(0,1)fxfyfxy．特别有()()()()22fxfyxyf．凹凸性不等式定理2：当[,]xab，且()()0fafb，若()()0,fx则()()0fx．积分不等式定理：若()()fxgx，则()()bbaafxdxgxdx（ab），但反之不然．特别有若()0fx，则()0bafxdx（ab），但反之不然．积分估值定理：若()fx在[,]ab（ab）上连续，则minmax()()()()()bafxbafxdxfxba．积分绝对值不等式定理：()()bbaafxdxfxdx（ab）．2二、典型例题题型一恒等式证明及其逆问题主要方法：求导法、积分法（换元（序）、分部）、待定系数法、反证法例1、设02x，求证：2sin0()arcsinxfxtdt+2cos0arccos4xtdt.证：易得'()0fx，则arccos=10202()(0)arccoscos4tufxftdtudu.例2、f可积,证明：（1）2000(sin)(sin)(sin)2xfxdxfxdxfxdx；（换）（2）并利用（1）计算60sinxxdx2532.例3、设)(xf为连续函数，且满足0()arcsinxtfxtdtxx，求()fx．提示：xdttxtf0)(utx0()()arcsinxxufuduxx，两边对x求导得2120()1(1)xfudux，两边对x再求导得232()(1)fxxx．例4、设)(xF为)(xf的原函数，当0x时，有xxFxf2sin)()(2，且0)(,1)0(xFF，试求)(xf.解：xdxdxxFxF2sin)()(2，2()22sin48FxxxC，由1)0(F知12C，0)(xF，()sin441Fxxx，()(1cos4)4sin44fxxxx.例5、()fx可导，()gx为其反函数，(1)0f，证明：1()1000()2()fxdxgydyxfxdx．提示：令()0()()fxFxgydy，则左1112000[()]'()()xFxxFxdxxdfx右．例6、设()fx连续，证明：1112001()()=[()]2xdxfxfydyfxdx．提示：111110000()()()()()()yxydyfyfxdxIdxfxfydydyfyfxdx换序换元，则111112000002()()()()[()]Idyfyfxdxfxdxfydyfxdx．(也可采用轮换性)例7、若121200()(1)lim()1()1,xfxxfxxfxdx求0lim()xfx与10()fxdx.解：令100lim(),()xfxafxdxb，则212()(1)11fxaxbx220lim[11]11xaabxabx，1220(11)1abbxdxx14ab由上述两式解之得0lim()(8),xfxa10()1fxdxb.例8、设)(xf在],[ba上连续，且0)(xf，若0)(badxxf，则在],[ba上，0)(xf．证明：用反证法，假设0)(),,(00xfbax，则),(),(00baxx)0(0)(xf，则baxxxxfdxxfdxxf),(,0)(2)()(0000积分中值定理.这与0)(badxxf矛盾，故原式得证．3题型二方程根的存在性与中值问题主要方法：介值定理、微积分中值定理、反证法（1）)(xf在],[ba或),(ba上连续，则()fx直接对使用介值定理利用原函数构造辅助函数，用中值定理解决例1、设)(xf在),(上连续，且lim()0xfxx，证：),(使0)(f．提示：设xxfxF)()(，则)(xF在),(上连续，lim()lim[1()]xxFxxfxx，01x，使0)(1xF同理，由,)(limxfx02x，使0)(2xF，故)(xF在],[21xx上满足零点定理．例2、)(xf在],[ba上连续，0],,[iitbax),,2,1(ni，且11niit，求证：],[ba使niiixftf1)()(．（此为1{()}nifx的加权平均值）提示：()mfxM，有niniiniiiiMMtxftmtm111)(．进一步，111()()()()bbbaaambamdxbafxdxbaMdxM则(,)ab，使1()()()bafbafxdx．（此为()fx在],[ba上的平均值）例3、设ka是满足1(1)(21)0nkkkak的实数，证：nkkxka10)12cos(在(0,2)内至少有一实根．（构造1()sin(21)(21)nkkFxakxk在[0,2]上用罗尔Th）例4、设)(xfy为]1,0[上的任一连续函数，且1010)()(dxxxfdxxf求证：0)1)((xxf在)1,0(内至少有一根．提示：构造1)1)(()(xdtttfxF在]1,0[上用罗尔定理；或用积分中值定理．（2）)(xf在],[ba或),(ba上可导，则数，用中值定理解决利用原函数构造辅助函使用中值定理直接对)(xf例1、设)(xf在[12,2]连续，在(12,2)上可导，且1122()(2)fxdxf，试证：)2,0(，使'()0f．（提示：112(2)2()(),(12,1)ffxdxf）例2、设)(),(xgxf在],[ba连续，在],[ba上可导，且对于),(bax有0)(xg试证：),(ba，使()()[()()][()()]fgffagbg．提示：令'()'()()()'()'()()()'()Fxfxgxfxgxfxgbfagx，构造函数()()()()()()()Fxfxgxfxgbfagx在],[ba上用罗尔Th．例3、设)(xf在],[ba上连续，在),(ba上可导求证：),(ba，使11[()()]()()nnnbanffAbafafb．提示：（1）令1'()()()nnFxnxfxxfx，构造)()(xfxxFn在],[ba上使用Lagrange（2）令1'()()()nnFxnxfxxfxA，构造()()nFxxfxAx在],[ba上使用罗尔．4例4、设)(xf在ba,上一阶可导，()0fa，'()0fa，()0fb，证明：（1）存在),(ba，使0)(f；（2）存在),(ba，使'()()ff．提示：（1）由保序性，1,xaa，使得10fx，由零点定理知（1）．（2）fx存在两个零点,a，则xFxefx在,ab上有两个零点，用Rolle定理．注：若结论出现'()()()0fpf，则令()pxdxFxefx．注：若结论出现'()()()()fpfq，则令()()pxdxFxefxqxdx．题型三非积分不等式主要方法（1）构造)(xf，确定其单调性，求出端点的函数值或极限值，作比较即可.（2）利用函数的凹凸性.（3）利用函数的极值和最值----构造函数，比较值为极值或最值.（4）利用中值法证明不等式.例1、设)1,0(x，求证：(i)22)1(ln)1(xxx；(ii)211)1ln(112ln1xx．提示：(i)令()ln(1)1fxxxx或22()(1)ln(1)gxxxx(ii)令11()ln(1)hxxx，则22()'()0(1)ln(1)gxhxxxx，有(1)()(0)hhxh．例2、比较ee与的大小．提示：xe，比较xeex与的大小，取对数构造()lnfxxex，易证ee．例3、设)(),(xgxf二阶可导，当0x时，)()(xgxf，且)0()0(gf，)0()0(gf，求证：)()(0xgxfx时，．（提示：令)()()(xgxfxF，需两次求导）例4、当02x时，sintan2xxx.（令()=sintan2fxxxx）提示：22'()cossec22cossec2=2(sec1)0fxxxxxx．例5、当0,0yx时，求证：lnln()ln[()2]xxyyxyxy．提示：令()ln,()0[()()]2[()2]ftttftfxfyfxy．例6、当x0时,sin(2)xx．提示：令()sin(2)fxxx,则当x0时,()sin(2)40fxx，故该函数的图形在),0(内是凸的，又0)()0(ff,因此0)(xf．例7、设2eabe，求证：222lnln4()baeba提示：令22()ln4,fxxex要证()()fbfa，可证当2exe时，()fx单调增．注1：令222()lnln4()gxxa