关于运动员举重问题的研究

1关于运动员举重问题的研究摘要本文通过查阅运动员举重问题相关的论文及资料，并根据实际经验数据建立起了运动员举重成绩与体重之间的关系模型。基于是否考虑体重中有一部分是与成年人的尺寸相关，本文建立起了两类关系模型，即模型（15）和模型（20）。经检验得知两类模型均能能有效描述运动员举重与体重之间的关系，但模型（20）更为精准和有说服力，它使得比赛受体重因素的影响较小，从而更加公平。关键字：最小二乘法，回归分析，数据拟合，O’Carroll模型1.引言在现代奥运会举重比赛中，比赛前运动员都要称体重，并且最后运动员的成绩只计算抓举和挺举的总成绩，如总成绩相同则赛前体重轻者列前。一般情况下，最中获奖级别越高，体重越重，举起的重量也越大，那么可设想同一级别的运动员，体重越大的，举起的重量应该越大。也就是说，运动员的体重与总成绩应该有着密切的关系。同时已经提出的生理学论证建议肌肉的强度和其横截面的面积成比例【1】，而生理学已证明肌肉强度近似正比于力量的大小，从这个角度出发来研究举重总成绩与体重的关系，并用表中数据进行检验有着重要的研究价值。更进一步地，基于生理学、动物解剖学和统计分析，体重分为两部分，肌肉部分和非肌肉部分，体育运动员身体中肌肉所占体重为40%—45%【2】。从而可以推断体重中有一部分体重与成绩关系不大。本文在查阅了大量关于运动员体重与举重成绩研究的基础上进行进一步的研究，旨在找出体重与举重成绩之间的关系。2.问题重述运动员在高度和体重方面差别很大，为了在举重比赛中对此做出补偿，规定要从运动员举起的重量中减去其体重,以下是1996年奥林匹克运动会上优胜者的举重成绩：级别最大体重（千克）抓举（千克）挺举（千克）总重量（千克）154132.5155.0287.5259137.5170.0307.5世界记录364147.5187.5335.0470162.5195.0357.5世界记录576167.5200.0367.5683180.0212.5392.5世界记录791187.5213.0402.5899185.0235.0420.0世界记录9108195.0235.0430.0210超过108197.5260.0457.5（一）这个规定暗示了什么关系，结合上表说明这种关系。（二）已经提出的生理学论证建议肌肉的强度和其横截面的面积成比例，利用这个强度子模型，建立一个表示举重能力和体重之间关系的模型，列出所有的假设，用所提供的数据来检验你的模型。（三）假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关的，提出一个把这种改进融合进去的模型，并讨论两个模型各自的优缺点，然后提出一种经验法则，对不同体重的举重运动员设定障碍，使得比赛受体重因素的影响较小，从而更加公平。3.问题假设及符号说明3.1问题假设：①举重运动员的总成绩是生理条件，心理因素等众多因素共同作用的结果；②本文的研究重点虑体重的因素，假设运动员其他条件相差不大。3.2符号说明表1符号说明因素符号人体体重W人体身高H肌肉横截面积S人体体积V肌肉强度T举重成绩C非肌肉重量0W注：上表仅仅列出本文主要符号，其它将在后文给出，这里不再赘述。4.模型建立与求解4.1问题一通过对问题中图表数据的分析可以得出如下两个结论：1）题目中，由于运动员在高度和体重方面差别很大，因此在举重比赛中对此做出补偿，规定要从运动员举起的重量中减去其体重。这个规定暗示了运动员的举重总成绩与体重可能成正比。2)结合表中也可得：体重越重的，级别越高，举起的重量就越大。表中体重一列是呈上升趋势，抓举、挺举和总重量三列也是呈上升趋势。下面用图形和数据拟合来验证一下观察的结论，首先画出表中所给总成绩和体重数据的散点图，如图1：35060708090100110250300350400450体重（kg）总成绩（kg）图1体重与成绩散点图从上图可以直观地看出，体重越大，举重总成绩越好，因此，举重总成绩与体重大概成线性关系。下面我们用一次函数bW0.aC对它们进行拟合。得到拟合后的函数是：0959.1626153.2WC拟合图像（图中直线）如图2所示5060708090100110280300320340360380400420440体重（kg）总成绩（kg）图2体重与成绩拟合图从上图看出实际的举重成绩值在拟合的线性函数上下波动，说明拟合的函数与实际具有一定的误差。说明用线性函数对举重总成绩与体重进行拟合的模型过于简单、粗略，考虑的因素比较少。但依然可以推知这个规定暗示的结论是：举重总成绩与体重近似成正比。4.2问题二4.2.1模型的建立一般举重运动员的举重能力是用举重成绩来衡量，而举重运动员的举重能力与其肌肉强度近似成正比关系，从而举重运动员的举重总成绩与其肌肉强度近似成正比，即：TkC1（1k为大于零常数）（1）4从运动生理学得知，肌肉的强度与其横截面积近似成正比，即：SkT2（2k为大于零常数）（2）从而得出SkkTkC211（3）假设肌肉的横截面积正比于身高的平方，人的体重正比于身高的三次方【3】，即可得：3423,hkWhkS（43,kk为大于零的常数）（4）从而得232121hkkkSkkC（5）从34hkW可得：314kWh（6）带入（5）式可得323243213243212321WkkkkkWkkkhkkkC（7）从而可得举重运动员举重总成绩与其体重的关系模型为：32KWC（324321kkkkK）（8）上述模型是根据比例关系推导得出，又称为经验模型。利用题目表格中所给的体重和举重总成绩数据，运用最小二乘法求出上述模型的系数K。因为体重超过108千克的运动员的体重没有具体的数据，为了模型的准确性，故将这个数据舍去。通过在matlab中编程求得K=20.0880,于是举重运动员的举重总成绩与体重的关系模型为3220.0880WC（9）体重5459647076839199108总成绩理论值286.9894304.44321.41341.20360.42382.23406.4099429.90455.57利用表格中数据画出举重总成绩实际值的散点图（用小圆圈表示）和模型3220.0880WC的曲线图，如下图所示：55060708090100110280300320340360380400420440体重（kg）总成绩（kg）图3模型曲线图从上图可以看出，实际数据在函数曲线上下波动，第一个点跟理论值非常接近，而第八个点则跟理论值偏差比较大。根据模型（9），我们求出了相对应的一些理论值，并用画出它的散点图（用星号表示），再跟实际值（用圆圈表示）进行对比，如图4：5060708090100110280300320340360380400420440体重（kg）总成绩（kg）图4实际值与理论值散点图将举重总成绩的实际值和理论值制成表格如下（单位：千克）：体重5459647076839199108总成绩实际值287.5307.5335.0357.5367.5392.5402.5420430总成绩理论值286.9894304.44321.41341.20360.42382.23406.4099429.90455.57根据上表数据计算的误差很大为37.2124。这个模型主要是依据比例关系得到的，假设条件都比较粗糙，是比较粗略的计算模型。通过这个模型只能大概得到举重总成绩与体重的关系，但计算得到的理论值与实际值不是很相符。由于人的重量并非完全均匀的，并且通过查找资料得知，人的体重并不完全正比于身高的三次方，有人做过统计得到人的体重和身高6的关系[3]为32.21.17hW（10）假设人的体重跟身高的关系为hkW1（11）同时由于人体中不同部位的肌肉横截面积不相同，所以横截面积不一定完全正比于身高的平方。假设肌肉横截面积跟身高的关系为hkS2，类似于上面的推导，可得到343213(kkkkKKhW（12）利用表格中的数据对上述模型进行求解，首先将上述函数化成对数形式WKClglglg（13）然后利用表中的数据用线性最小二乘法和matlab软件编程，得K=29.7427，γ=0.5775。得到拟合后的函数为5775.07427.29WC（14）画出图形如下所示5060708090100110280300320340360380400420440体重（kg）总成绩（kg）图5模型（14）曲线图由图5可知模型（14）的效果显然比模型（9）好的多。根据模型（14），我们求出了相对应的一些理论值，并用画出它的散点图（用星号表示），再跟实际值（用圆圈表示）进行对比，如图6：75060708090100110280300320340360380400420440体重（kg）总成绩（kg）图6实际值与理论值散点图将举重总成绩的实际值和理论值制成表格如下（单位：千克）：体重5459647076839199108总成绩实际值287.5307.5335.0357.5367.5392.5402.5420430总成绩理论值297.79313.41328.49345.94362.76381.70402.53422.60444.39经计算得到他们的误差为25.8221，故而模型（14）比模型（9）更好，用它来描述举重运动员的总成绩和体重的关系比较准确。最终得到的模型为：5775.07427.29WC（15）4.2.2模型检验：将KWC转化为对数形式WrKClglglg，再用回归分析对模型进行检验。计算得到lgK=3.3926，lgW=0.5775。得到的置信区间为[0.4522,0.6729]，并且2R=0.9670，F=204.9798，P0.0001，2R接近1，p=0.005，所以模型较好。下面作残差的置信区间分析，如下图，可以观察出全部数据的残差置信区间均包含零点，没有异常点，结果比较令人满意。82468-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.08ResidualCaseOrderPlotResidualsCaseNumber图7残差图所以模型（15）较为合理。4.3问题三4.3.1模型建立人体体重有一部分是与成年人的尺寸无关的，我们可以将人体体重分为肌肉重量与非肌肉重量，对成年人而言，非肌肉重量可近似看成是相同的。从生理学得知肌肉包括快肌和慢肌【4】，其中快肌是决定肌肉爆发力的主要因素，也就是影响力量的主要因素。对于举重运动员来说，他们能举起的重量跟与肌肉爆发力密切相关。故考虑将肌肉重量作为决定举重运动员成绩的主要因素，同时还考虑非肌肉重量。从而假设：人的体重可以看成肌肉重量和非肌肉重量，其中非肌肉的重量是与成年人的尺寸无关，成年人的非肌肉重量可近似为35kg[3]。并且假设运动员体重中除了肌肉重量之外其他重量为0W，则可得到关系式：hkWW40（16）其他假设条件和上面的模型一样，类似于上面的推导，可得到举重成绩C与肌肉重量W的关系为：rWWKC)(0（17）其中k和是待定系数。上述模型也称为O’Carroll模型，它是O’Carroll在1967年提出的。4.3.2模型求解先将模型（17)妆化)（logloglog0WWKC（18）假设0W=35千克，然后利用表中的数据用线性最小二乘法得到拟合后的函数为：3039.0)35(*8752.118WC（19）9即举重运动员的举重总成绩与体重的关系模型为3039.0)35(*8752.118WC（20）由模型（20）画出的图像如下所示5060708090100110280300320340360380400420440图8从图中可以看出，曲线有波动，但有误差已经很小，这与实际相吻合。故选择模型（20）作为改进后的最终模型。4.3.3模型检验下面用回归分析检验模型rWWKC)(0的有效性：通过函数regress（）用matlab编程求出K和的估计值和相应的回归置信区间，得：k=18.8722，=0.2111，2R