动量守恒定律在多物体系统中的应用

1动量守恒定律在多物体系统中的应用罗平一中徐勇“动量守恒定律”是指系统在满足动量守恒条件的前提下，系统的初、末状态的动量相等。“系统”是指相互作用的物体，至少是两个物体，也可以是多个物体；初、末状态的动量是指系统内的物体在相互作用前、后的动量总和。这意味着相互作用可能要经历一段不可忽略的时间，但动量守恒定律的表达式并不包括时间。而在系统内物体相互作用的这一时间内，可能还包含有多个复杂的相互作用过程。一般的解题思路是：逐步弄清楚中间的每一个细节，然后再各个击破；或逐步建立方程，寻找规律，再用数学归纳法求解。但用动量守恒定律解题的优势恰在于，在满足动量守恒条件时无须追究细节。本文试图就某些有较复杂的相互作用过程的题型寻求一种便捷的解题方法。[例1]在平直的光滑轨道上，前后有两个小车，车上各站着一个人，甲和车总质量为m1，乙和车总质量为m2，甲持有一个质量为m的球，开始时两车都静止。甲以对地速度V将球抛给乙，乙又以相同的速率抛给甲，这样往返n次后，甲乙两车的速度之比为。[解析]：一般说来，在一次抛接中，我们可以以甲和球、球和乙为对象，据动量守恒定律建立方程，这样，在n次往返中，将有4n个方程！虽然实际上并不需要也不可能写那么多，但仍很麻烦。考虑到动量守恒定律在守恒条件下只关心系统的初、末动量，所以可以不考虑中间环节，只要抓住以下要点，即可快速解题：1、系统所在平面光滑，水平方向不受外力，因此系统动量守恒；2、初态：甲、乙车及人和球匀静止，系统总动量为零；3、末态：球往返n次后回到甲手中，甲和球的共同速度为V甲，乙速度为V乙，二者方向相反，取V甲方向为正方向，由动量守恒定律有：120()mmVmV乙甲21mm+mVV甲乙[例2]如图1所示，在光滑水平面上，依次顺序在一条直线上排有质量为m、2m、3m、…10m的10个小球，彼此之间有一定的距离，另有一个质量为m的小球，沿着这条直线以初速度v0向第一个小球碰去，碰撞后小球都粘在一起向前运动，由于连续碰撞，系统损失的机械能是多少？[解析]：11个小球构成的系统动量是守恒的，而且，中间过程中的10次碰撞，每次动量都守恒，因此只考虑初、末两状态即可。以11个小球为对象,取V0方向为正方向，设最后的共同速度为V，损失的动能为KE,由动量守恒定律：0022200(2310)565655115622112mvmmmmmVmVvVmvmvmvKEmm2m3m10mV0图120022200(2310)565655115622112mvmmmmmVmVvVmvmvmvKE[例3]如图2所示，甲、乙两人做抛球游戏，甲站在一辆平板车上，车与水平地面间的摩擦力不计，甲与车的总质量为M=100Kg，另有一质量为m=2Kg的球。乙站在车的对面的地上，身旁有若干质量不等的球。开始时车静止，甲将球以速度V（相对地面）水平抛给乙，乙接到抛来的球后，马上将另一质量为'2mm的球以相同的速率V抛给甲，甲接住后，再以相同的速率V将此球水平抛给乙，这样往复进行，乙每次抛给甲的球的质量者等于他接到球的质量的两倍，求甲抛出多少个球后，再不能接到乙抛来的球？[解析]：设甲抛n次后再不能接到乙抛来的球，此时甲的速度为Vn，。因甲先抛球，故甲抛n次时，乙只能抛n－1次；由于乙每次抛球质量都是甲抛出球质量的两倍，甲第一次抛出质量为m的球，则乙此后n－1中抛球质量依次为：2m、4m、8m、…、2n－1m,速率均为V;而甲在n次中抛出的质量依次为:m、2m、4m、8m、…、2n－1m，速率均V。如图3所示（箭头代表抛球的速度方向，其内为等效质量或动量）。为避免对中间过程的繁琐推理，等效看成甲一次抛出质量为（m+2m+4m+8m+…+2n－1m）的球，乙一次抛出质量为（2m+4m+8m+…+2n－1m）的球，且甲乙抛球的速率大小均为V，不计摩擦力时，这若干球和甲、车系统动量守恒，取V方向为正方向，由动量守恒定律有：－（2m+4m+8m+…+2n－1m）V＝－MVn＋（m+2m+4m+8m+…+2n－1m）V利用等比数列的前n项和公式可求得：1(23)nnmVVM当Vn≥V时，甲不能接到乙抛来的球。即1(23)nmVVMM=100Kg，m=2Kg，计算可得：226.5n，∴n≥5。即甲抛出5个球后就不能再接到乙抛来的球了。当然，世上没有包医百病的灵丹妙药，以上方法也不能解决所有多物体系统并具有复杂的相互作用的问题。事实上，有的题恰恰只能是逐步弄清楚中间的每一个细节，然后再各个击破；或逐步建立方程，寻找规律，再用数学归纳法求解。下面举两个例子。[例4]如图４所示，AOB是光滑的水平轨道，BC是半径为R的光滑圆弧轨道，两轨道刚好相切，如图V图2乙：（2m+4m+8m+…+2n-1m）V甲:（m+2m+4m+8m+…+2n-1m）VVV图3VnVMmVABC图４34所示，质量为M（M=10m）的小木块静止在O点，一质量为m的子弹以某一速度V0水平射入木块内未穿出，木块恰好滑到圆弧的最高点C处，此后返回O点，若每当木块回到O点，立即有相同的子弹以相同的速度射入木块，且留在其中，则当第10颗子弹射入木块后，木块能上升多高？[错解]：设10颗子弹同时在射入，子弹和木块的共同速度为V,取V0方向为下方向，由动量守恒定律有：010(10)mVmMV由机械能守恒定律可知:21(10)(10)2mMVmMgh由以上两式及M＝10m得:20/80hv以上解答错在何处呢?注意到在M往返过程中,由于受到轨道BC部分的冲量并不为零,因此在整个过程中系统动量并不守恒。但是在每一颗子弹射入木块的过程中，系统动量是守恒的。正确解答如下。[正解]：设第1、2、3、４、…颗子弹射入木块后的共同速度为1V、2V、3V、4V、…取V0方向为正方向，由动量守恒定律有：则射第一颗时：01()mvMmV…………………………………①射第二颗时：012()(2)mvMmVMmV……………………②射第三颗时：023(2)(3)mvMmVMmV……………………③射第四颗时：034(3)(4)mvMmVMmV……………………④…………由①②可知，20V；由③④可知，40V；同理，凡第偶数颗子弹射入木块后，其共同速度都为零，故第十颗子弹射入木块时，共同速度必为０。因而此时上升高度为０。[例4]如图５所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都记为n(n=1，2，3…)。每人只有一个沙袋，x＞0一侧的每个沙袋质量ｍ＝14kg，x＜0一侧的每个沙袋质量为'10mkg。一质量为M=48kg的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行。不计轨道阻力。当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度v朝与车相反的方向沿车面扔到车上，v的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍(n是此人的序号数)。(l)空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？(2)车上最终有大小沙袋共多少个？[解析]：本题中，由于“Ｖ的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍(n是此人的序号数)”，每个沙袋的速度都不同，所以不能简单地把所有沙袋看成一次扔到车上。正确解法之图５4一如下。因为扔到车上的沙袋的水平速度与车行方向相反，两者相互作用后一起运动时，总动量的方向(即一起运动的方向)必与原来动量较大的物体的动量方向相同。当经过第n个人时，扔上去的沙袋的动量大于车及车上沙袋的动量时，车就会反向运动。当车向x负方向运动，而扔上去的沙袋的动量与车及车上沙袋的动量等值反向时，车将停止运动。【解】(1)设小车朝正x方向滑行过程中，当车上已有(n-1)个沙袋时的车速为1nV，则车与沙袋的动量大小为11(1)npMnmV。车经过第n个人时，扔出的沙袋速度大小为12nnV，其动量大小为212npnmV当满足条件12pp时，车就反向滑行。于是由112(1)nnnmVMnmV得48142.4314Mmnm取n＝3，即车上堆积3个沙袋时车就反向运动。(2)设车向负x方向滑行过程中，当第(n—1)个人扔出沙袋后的车速为'1nV，其动量大小为：'''113(1)npMmnmV车经过第n个人时，扔出沙袋的速度大小为'12nnV，其动量大小为'''212npnmV当满足条件''21pp时，车就停止。于是由''''1123(1)nnnmVMmnmV得''3483410810Mmmnm所以车停止时车上共有沙袋数为：N＝3＋8＝11(个)。总之，不少学生的主要困难是难以从具体问题中抽象出简化的物理模型，以致面对得过程复杂的问题时不知该如何入手，该用何种方法。因此，教学中必须注重打好基础和注重提高分析问题的能力的培养。