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对偶分析：基于1和基于0的逻辑设计UESTC数电小论文你懂得摘要本文从分析对偶出发，对对偶定理的两种形式进行介绍，以对偶性分析了展开定理，讨论了标准和与标准积的构成及其中的典型概念，并总结了卡诺图化简的基本方法。关键词对偶；展开定理；标准和；标准积；卡诺图引言通过之前的学习，加圈设计使得反相器的用量在成本分析中可以忽略，将与非和或非门不加区分地看做标准门，可以通过表达式对成本进行粗略地估计，由于对偶性，同一表达式可有两种展开形式，利用卡诺图有基于1和0两种化简方式，为降低成本提供了机会。1.对偶的基本概念在逻辑电路中，正逻辑是指：低态电压判别为0，高态电压为1；负逻辑指：低态电压判别为1，高态电压为0。对偶反映的是正负逻辑的关系，正负逻辑相互对偶。开关代数的定理都是成对给出的，任一对定理可以由其中一个交换0,1并且互换“+”“”得到另一个，任何两个具有这种特点的定理是对偶的，对偶意味着对于每一对定理只需要证明其中一个成立即可。2.对偶定理对开关代数的定理和等式，若交换所有0和1,以及“+”，“”，结果仍然正确。从一个表达式出发可以有两种对偶形式，可以认为一种基于输入输出，另一种是基于内部单元。第一种对偶形式是从对偶的定义出发，正负逻辑之间相当于对输入和输出分别加反相圈，对于表达式,,,FAB,用第一种方法获得的对偶式是''',,,,,,DFABFAB。对偶系统可以由对偶部件组成，对所有的部件进行对偶变换就可以完成系统的对偶。第二种对偶就是利用这一性质得到的。对与，或和非在正负逻辑下列写真值表，可以得出：反相器是自对偶器件，与或运算互对偶。所以,,,FAB的对偶可以表示为,,,,,,DFABFAB。并且有''',,,,,,FABFAB。3.标准和与标准积设逻辑函数12,,...,nYFXXX，应用展开定理则有'121212,,...,1,,...,0,,...,nnnFXXXXFXXXXX（4-1）由对偶定理，交换所有0,1以及“+”，“”，得到展开定理的对偶'121212,,...,0,,...,1,,...,nnnFXXXXFXXXFXX（4-2）展开定理说明如下：对于任何函数F，有FFF，任意变量iX只能为1或0，两种情况对于式（4-1），（4-2）都成立。n变量最小项是含有n个文字的标准乘积项；n变量最大项是有n个文字的标准求和项。用最小项im表示真值表第i行对应的最小项，在最小项im中，若im的某位二进制值为0，则相应的变量取反，否则不取反；在最大项iM中若某位二进制值为1，则对应变量取反。每一个最大项是相应最小项的反函数，即'iiMm。反复使用式（4-1）可以展开成最小项之和的形式；使用(4-2)可将函数展开成最大项之积的形式。标准和是使函数输出为1的真值表对应的最小项之和，标准积是使函数输出为0的输入组合对应的最大项之积。标准和的反函数是原函数遗漏的最小项之和，例如考虑函数：,,1,4,5,6,7XYZF,则反函数表示为'023,,0,2,3XYZFmmm，再应用德摩根律对'F取反，得到''''023023023,,0,2,3XYZFmmmmmmMMM。4.卡诺图的逻辑化简卡诺图是真值表的图形表示。卡诺图的行和列定位了最小项编号，编号方式可以参考二进制数转换到格雷码的方法。卡诺图化简分为基于1的和基于0的化简。通过卡诺图化简时，首先要找到奇异单元，具体做法是从所选单元出发，如果能够画出的最大矩形圈（内部必须包含2n个单元）只有一个，则认为该单元奇异，最小和或最小积就要包括此主蕴含项。如果仍有未覆盖单元，只需保证包含这些单元的圈最大即可。例如对,,,2,3,5,7,11,13ABCDF基于0和1的化简，卡诺图如图1，我们通过最小积的化简来说明奇异单元。对于单元0，即ABCD=0000，此单元出发可以画出两个包含四个单元的圈，因此不是奇异的；对于单元1最大圈只有一个，包含4个单元，对应BC,同理可得单元6,10,15为奇异单元，并且实现了对0的全覆盖。图1结论从对偶性出发，本文分析了展开定理的两种形式，应用展开定理将表达式写为标准和或标准积的形式，将表达式表示为卡诺图的形式进行基于1或基于0的化简，并总结了通过寻找奇异单元系统地进行卡诺图化简的基本方法。参考文献[1]JohnF.Wakerly.数字设计原理与实践[M]:127-154[2]M.MorrisMano数字设计[M]:30-39[3]龙忠琪数字集成电路教程[M]:14-15