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勾股定理及其逆定理的应用解题【教学目标】准确运用勾股定理及逆定理解决实际问题。【学习重点、难点】重点：熟练掌握勾股定理及其逆定理。难点：正确运用勾股定理及其逆定理解决问题。【教学过程】（一）知识回顾1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方。如图：如果∠C=900，则有：2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形.如图：如果222abc，则有：★课前练习：（1）已知直角三角形的两直角边长分别为9和12，则它的斜边长为_______．（2）下列四组数分别表示4个三角形的3条边长，则其中是直角三形的是（）（A）2,3,4(B)5,3,2(C)2,3,5(D)9,12,15（3）已知如图，AB=13，BD=5，AD=12，DC=9，则AC=(4)如图，在四边形ABCD中，BAD=90，AD=3，AB=4，BC=12，DC=13.则△BDC是直角三角形吗？为什么？（二）典型例题例1：如图，在四边形ABCD中，B=90，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13.求四边形ABCD的面积。CBAcbaDCBAFE例2：如图,在冰雪灾害中,一棵大树被折断,树的顶端落地点A距离树的底部6米远,若这棵树折断之前的高度是18米，问树的折断之处C离树底B多高？★试一试：如图，在长方形ABCD中，DC=9，点E在DC边上，沿直线AE将△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上的F点，若AD=15，求△AED的面积。（※提示：求△AED的面积需要求出DE的长度，由折叠可以知道DE=且AD=）例3：已知△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC的面积。★变式练习：如图已知∠B=30°，∠C=45°，AB=12，求△ABC的面积。类型之一：勾股定理例1：如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是cm2．解析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长，则求得另一直角边的长即可．根据勾股定理公式的变形，可求得．解：由勾股定理，得132－52=144，所以另一条直角边的长为12．AB图3⑴所以这个直角三角形的面积是21×12×5=30（cm2）．例2：如图3(1),一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程为()A．a3B．a)21(C．3aD．a5解析:本题显然与例2属同种类型,思路相同．但正方体的各棱长相等,因此只有一种展开图．解:将正方体侧面展开得,如图3⑵．由图知AC=2a,BC=a．根据勾股定理得.a5a5a)a2(AB222故选D．类类型型之之二二：：在数轴上表示无理数例3：在数轴上作出表示10的点．解析：根据在数轴上表示无理数的方法，需先把10视为直角三角形斜边的长，再确定出两直角边的长度后即可在数轴上作出．解：以10为斜边的直角三角形的两直角边可以是3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如图所示，然后即可确定斜边长，再用圆规在数轴上作出长为10的线段即可．下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用例5：阅读材料，第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角ABC图3⑵三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=……=A8A9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积．OA1OA2OA3OA4OA5OA6OA7OA8解：2；3；2；5；6；7；22；3；这8条线段的长的乘积是7072例6：2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么2ba的值为（）（A）13（B）19（C）25（D）169解析：由勾股定理，结合题意得a2+b2=13①.由题意，得(b-a)2=1②.由②，得a2+b2-2ab=1③.把①代入③，得13-2ab=1∴2ab=12.∴(a+b)2=a2+b2+2ab=13+12=25.因此，选C.说明：2002年8月20日~28日，我国在首都北京成功举办了第24届国际数学家大会.这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会，也是多年来在我国举行的最重要的一次国际会议.它标志着我国数学已度过了六百多年的低谷，进入了数学大国的行列，并向着新世纪成为数学强国迈开了步伐.这次大会的会标如下图所示：它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》.类型之四：勾股定理的应用（一）求边长例1：已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长..（二）求面积例2：（1）观察图形思考并回答问题（图中每个小方格代表一个单位面积）①观察图1－1.正方形A中含有__________个小方格，即A的面积是__________个单位面积；正方形B中含有__________个小方格，即B的面积是__________个单位面积；正方形C中含有__________个小方格，即C的面积是__________个单位面积.②在图1－2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？③你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？（2）做一做：①观察图1－3、图1－4，并填写下表：②三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？（3）议一议：①你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？②你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？③分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，②中的规律对这个三角形仍然成立吗？解析：注意到图中每个小方格代表一个单位面积，通过观察图形不能得到答案：①99991818；②A中含4个，B中含4个，C中含8个，面积分别为4，4，8；③A与B的面积之和等于C，图1－2中也是A与B的面积之和等于C.（2）①答案：②答案：.（3）答案：①设直角三角形三边长分别为a，b，c（如图）；②，.③成立.（三）作线段例3作长为、、的线段．解析：作法：1．作直角边长为1（单位长）的等腰直角三角形ACB（如图）；2．以斜边AB为一直角边，作另一直角边长为1的直角三角形ABB1；3．顺次这样作下去，最后作到直角三角形AB2B3，这时斜边AB、AB1、AB2、AB3的长度就是、、、．证明：根据勾股定理，在Rt△ACB中，∵AB0，∴AB=．其他同理可证．点评由勾股定理，直角边长为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边长为、1的直角三角形的斜边长就是．类似地也可作出……；将上图无限地向两个方向画下去就可得到“勾股树”，请你试试看．（四）证明平方关系例4：已知：如图，在ABC中，90CE，AD是BC边上的中线，ABDE于E，求证：222BEAEAC.解析：根据勾股定理，在ACDRt中，222CDADAC，在ADERt中，222DEAEAD，在BDERt中，222BEBDDE，∴22222222CDBEBDAECDDEAEAC.又∵CDBD，∴222BEAEAC.点评证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角ABDCE形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件.（五）实际应用例5：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？解析（1）由点A作AD⊥BC于D，则AD就为城市A距台风中心的最短距离在Rt△ABD中，∠B=30º，AB＝220，∴AD=21AB=110.由题意知，当A点距台风（12－4）20＝160（千米）时，将会受到台风影响．故该城市会受到这次台风的影响．（2）由题意知，当A点距台风中心不超过60千米时，将会受到台风的影响，则AE＝AF＝160．当台风中心从E到F处时，该城市都会受到这次台风的影响.由勾股定理得∴EF＝2DE＝6015.因为这次台风中心以15千米/时的速度移动，所以这次台风影响该城市的持续时间为154151560小时.（3）当台风中心位于D处时，A城市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－20110＝6.5级．课堂练习：1.（1）在RtABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，C=90若a=6，c=10，则b=；（2）在RtABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，A=90MABN若a=41，b=9，则c=；2.如图所示，在四边形ABCD中，BAD=90，DBC=90，AD=3，AB=4，BC=12，求CD。3.四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。4．小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN＝30°，当他到达B点时，测得∠MBN＝45°，若AM=200米，求AB的长度。5.如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，求AE的长。6.已知AB=25，DA⊥AB于A，DA=15，CB⊥AB于B，CB=10，点E在AB边上，且DE=CE。试求AE的长度。DCBA家庭作业：一、选择题（每小题3分，共30分）1.直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为().（A）30（B）28（C）56（D）不能确定2.直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长为6cm，则它的斜边长（A）4cm（B）8cm（C）10cm（D）12cm3.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）（A）25（B）14（C）7（D）7或254.等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为()（A）13（B）8（C）25（D）645.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)6.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是()（A）钝角三角形（B）锐角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形.7.如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是()（A）25（B）12.5（C）9（D）8.58.三角形的三边长为abcba2)(22,则这个三角形是()（A）等边三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）锐角三角形.9.△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（）.（A）50a元（B）600a元（C）1200a元（D）1500a元10.如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的长为（）.（A）12（B）7（C）5（D）135米3米（第10题）（第11题）（第14题）二、填空题11.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.12.在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则222ABACBC=______.13.直角三角形的三边长为连续偶