内工大测试技术随机误差

第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差教学目的和要求：通过本节内容的教学，使学生对随机误差的产生原因、特点及处理方法有一个整体的认识。要求学生清楚随机误差的产生原因、特征，服从正态分布随机误差的特征；掌握随机误差特征值的确定方法；了解随机误差的分布；正确求解极限误差；掌握不等精度测量的数据处理方法。2.2.1随机误差产生的原因随机误差是由人们不能掌握，不能控制，不能调节，更不能消除的微小因素造成。这些因素中，有的是尚未掌握其影响测量准确的规律；有的是在测量过程中对其难以完全控制的微小变化，而这些微小变化又给测量带来误差。减小随机误差的技术途径(1)测量前，找出并消除或减小其随机误差的物理源;(2)测量中，采用适当的技术措施，抑制和减小随机误差;(3)测量后，对采集的测量数据进行适当处理，抑制和减小随机误差。对防震台充气减震、关空调减少气流、开机对激光器预热等。戴工作手套装夹工件，调整光路要尽量减少离焦、倾斜，并使干涉条纹疏密适当，人员尽量远离测量光路；必要的话，适当增加重复测量次数取算术平均值等视需要，有针对性地对采集的测量干涉图进行预处理，如用低通滤波、平滑滤波等方法来消除中高频随机噪声，用高通滤波法则可以有效消除低频随机噪声。随机误差的本质特征1、具有随机性：测量过程中误差的大小和符号以不可预知形式的形式出现。2、产生在测量过程之中：影响随机误差的因素在测量开始之后体现出来。3、与测量次数有关系：增加测量次数可以减小随机误差对测量结果的影响。1测量列数据特点数据列表明，各次测值不尽相同，这说明各次测量中含有随机误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下一个数据的大小。但就数据整体而言，却明显具有某种统计规律，这个规律可以用统计直方图来表示。随机误差的分析处理---统计方法N次测量结果---xi(i=1,2,…,N)测量列图示测量结果与直方图2统计直方图统计直方图在对称性方面有一些偏离理想正态分布的情形。对于测量状态比较完好的光电类测量仪器，其随机误差的分布往往较好的呈现正态分布的特征对于测量状态不完好的光电类测量仪器，特别是对传动机械部件磨损较严重而规律尚未掌握的仪器，其测量随机误差可能就呈现其他分布的特征。0.1140.1160.1180.120.1220.1240.1260.12801020304050服从正态分布随机误差的特征1．对称性2．单峰性3．有界性4．抵偿性由随机误差的对称性知，在有限次测量中，绝对值相同的正负误差出现的次数大致相同。因此，取这些误差的算术平均值时，绝对值相同的正负误差产生相互抵消现象，从而导致了随机误差的第四个特性——抵偿性。2.1.2正态分布)(f正态分布（高斯分布）---大多数；其它---正弦分布、二次分布、卡方分布、指数分布、分布、分布等分布：均匀分布---量化误差、舍入误差；22221)(ef概率密度函数dedfF22221)()(概率分布函数)(f误差=l–L0均方根误差/标准差nnii12正态分布计算正态分布的分布密度函数：22221)(ef数学期望标准偏差)(D=1.0f()=1.5=2.0平均误差或然误差1)(}Edf2.1.3算术平均值11niixxn在等精度测量条件下，对某被测量进行多次重复测量，得到一系列测量值,常取算术平均值作为测量结果的最佳估计。12,,...,nxxx（一）算术平均值的意义无限多次测量算术平均值作为真值的理论依据证明方法有四种：1.大数定律；2.似然原理；3.最小二乘法；4.随机误差抵偿性1.若测量次数无限增多，且无系统误差下，由概率论的大数定律知，算术平均值以概率为1趋近于真值4.因为011nniiiixnx根据随机误差的抵偿性，当n充分大时，有011niixxxn01nnii最佳估计的意义若测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该测量总体期望的一个最佳的估计量，即满足无偏性、有效性、一致性3满足最小二乘原理该所有测量值对其算术平均值之差的平方和达到最小2在正态分布条件下，满足最大似然原理该测量事件发生的概率最大残余误差由算术平均值原理可知，算术平均值是真值的最佳估计值，用算术平均值代替真值计算得到的误差称为残余误差。在规定测量条件下，同一被测量的测量列x1，x2，…，xn有算术平均值：则称为残余误差。xxviiniixnx11残余误差可求，又称实用误差公式。残余误差具有两个重要特性：1.残余误差具有低偿性——残余误差代数和等于零2.残余误差平方和为最小021nvvvmin22221nvvv2.1.4测量的标准差（一）测量列单次测量的标准差例题nnii124401.05000.0325.02009.04001.03004.0(2601[21)]2209.0125.02904.01016.01116.02126034.11≈0.2μm=1.0f()=1.5=2.0σ不是测量列中任何一个具体测得值的随机误差，σ的大小只说明，在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况。在该条件下，任一单次测得值的随机误差δ，一般都不等于σ，但却认为这一系列测量中所有测得值都属于同样一个标准差σ的概率分布。22221)(ef标准差的基本估计——贝塞尔公式对同一被测量，在相同测量条件下，进行有限次测量得测量列xi（i＝1，2，…，n），则单次测量标准差的估计值为：112nvnii公式推导（二）算术平均值的标准差算术平均值的标准差则是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。nlllxn21221221221)(1)()()()()(1)]()()([1)(nlDnlDlDlDlDlnDnlDlDlDnxDnnx＝＝』＝＝＝＝『由于等精度测量有＋)1(12nnvnniix所以最佳测量次数确定图2－3x增加测量次数，可以提高测量精度。由图2－3可知，σ一定时，当n＞10以后，已减少得非常缓慢。同时由于测量次数愈大，也愈难保证测量条件的恒定，从而带来新的误差。因此一般情况下取n＝10以内较为适宜(5～15)。总之，要提高测量精度，应采用适当精度的仪器，选取适当的测量次数。x例题例已知测量的单次测量标准差σ＝0.12（略去单位）。问在不改变测量条件的情况下，使被测量估计值的标准差达到0.04，需测量多少次？解：以算术平均值作为被测量的估计值，适当增加测量次数，以满足测量精密度的需要。由式（2－21）得：即测量次数：（次）即对被测量进行9次以上重复测量，它们的算术平均值的精密度便可达到要求。xn9)04.012.0()(22xn2.1.5测量的极限误差极限误差是指极端误差，是误差不应超过的界限，此时对被测量的测量结果（单次测量或测量列的算术平均值）的误差，不超过该极端误差的置信概率为P，并使差值1－P＝a可以忽略。此极端误差称为测量的极限误差，并以δlim表示。Pα＝1－P极限误差δlim的值可依据测量标准差、误差分布及要求的置信概率确定：①单次测量的极限误差②算术平均值的极限误差t称为置信系数，是误差分布、自由度和置信概率的函数，通常有表可查。txlimxtxlim一、单次测量的极限误差条件：测量列的测量次数足够多；单次测量误差为正态分布。121)(222dedf验证利用dxex2dedeP02222222221)(dedeP02222222221)(引入新的变量t，t=δ/σ，将δ=tσ代入上式得)(222)()(022tdtetPPttdtettt02221)()(2-1P-1tΦ(t)α＝1－2Φ(t)tσ置信概率显著度显著水平置信系数txlim3limx单次测量的极限误差测量结果的置信概率与置信区间置信概率（置信度）：描述误差处于某一范围内的可靠程度的量。置信区间：对应置信概率的极限误差范围，用标准差σ的倍数tσ表示（t为正系数）。◆在置信区间[-3,+3]内置信概率P{|i|3}=0.9973◆在置信区间[-2,+2]内置信概率P{|i|2}=0.9544◆在置信区间[-,+]内置信概率P{|i|}=0.6826二、算术平均值的极限误差xtxlim1.按正态分布计算当测量列算术平均值误差为正态分布时ix2.按t分布计算当测量列测量次数较少时xtxlim由α和ν查表确定0.010.020.05ν=n-1例题：用电压表对某一电压测10次，试求出最终测量结果(假设系统误差和粗大误差已消除)。N实测值：xi残差的平方2iv1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0875.05-0.035-0.005+0.025-0.045-0.015+0.045-0.015-0.025+0.035+0.0050.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.2226250.0012250.000025计算值045.75xxxvii0iv00825.02iv3121057.90303.011nvnxnii测量结果按正态分布:)V(028.0045.753xxxt分布：自由度为9的t分布置信度0.95时，t=2.2622.1.6不等精度测量一、权的概念在不等精度测量中，各个测量结果的可靠程度不一样，因而不能简单地取各测量结果的算术平均值作为最后测量结果，应让可靠程度大的测量结果在最后结果中占的比重大一些，可靠程度小的占比重小一些。各测量结果的可靠程度可用一数值来表示，这个数值即称为该测量结果的“权”，记为p。因此测量结果的权可理解为：当它与另一些测量结果比较时，对该测量结果所给予的信赖程度。常遇到两种不等精度测量情况二、权的确定1.按照可靠程度确定；2.按照测量次数确定权：pi=ni权与算术平均值标准差的关系：p1:p2:…:pm＝每组测量结果的权pi与其相应的方差成反比等精度测量也是等权测量。它是不等精度测量的特例。222211::1:1mxxx三、加权算术平均值miimiiipxpx11四、单位权概念单位权：等于1的权单位权化目的：不等精度测量列转化为等精度测量列方法：任何一个量值乘以自身权数的平方根，得到新的量值权数为1。iixpz22m222211p::ppmxxx22ipix)1(pp22ipix1zp证明五、加权算术平均值的标准差miimiiixxpppi11miimixixpmvpi112)1(