化学教学中的数学应用

-1-化学教学中的数学应用谢惠高考大纲指出“提高将化学问题抽象为数学问题，并利用数学工具，通过计算和推理（结合化学知识)解决化学问题的能力。”纵观历年化学高考试题中，几乎都涉及了数学方法的应用，这些数学方法在解题时灵活多变．互相渗透，既可简化化学解题思路，又可清晰其辨证的思维，实为解题和提高学生综合素质的捷径。数学是众多门类科学的工具。数学进入某一学科，就意味这门学科从定性发展到定量阶段，意味着这门学科的成熟，化学学科就是这样的。数学的最大优点在于它的优美、严密的逻辑性。一个具体问题若能经过数学的严密论证，其结果无疑是令人信服的。数学已成为现代化学中不可缺少的工具，化学计算就是把化学问题抽象成数学问题。将化学问题抽象成数学问题，是思维的一种飞跃，因而也是一种高层次的思维能力。在化学计算中，有几种常用的特殊方法：差量法、十字交叉法、不等式法、极值法、平均值法、排列组合法等。在这几种方法中，尤其是十字交叉法，一般不在课堂上详细讲授。但许多学生从课外书籍上了解到这些方法，喜欢去试一试，甚至经常用，但用起来经常牛头不对马嘴。并由此引入的二元混合、三元甚至多元混合体系的计算题更是千变万化，所以若能将其应用原理讲授给学生，特别是智优生，那将是一个很大的帮助。因为能用这几种方法法解答的化学题确实太多了。1、差量法：——合比定律在化学计算上，差量法无疑是非常常用的一个解题技巧，大多数学生在应用时只知其然不知其所以然，因此在实践中经常出错。如果懂得差量法的数学依据是合比定律，那将对其有很大帮助，就能够举一反三。合比定律即：-2-对已经开设化学科的年段（初三年级以上）来说，合比定律是一个简单的数学定律，但应用在这里确是恰如其分的解释了差量法，以此教授差量法可起到事半功倍的效果。例1：称取3.5gBa（OH）2.nH2O试样溶于水配成100ml溶液，从中取出10ml溶液于锥形瓶中，用0.1mol/LHCl溶液中和共消耗20ml（杂质不与酸反应）。另取5.25g试样加热至失去全部结晶水（杂质不分解），称得质量为3.09g，求Ba（OH）2.nH2O试样中的n值？解析：3.5g样品中含Ba（OH）2的物质的量=0.1×20×10-3×10=0.01mol2Ba（OH）2.nH2O△Ba（OH）2+nH2O△m1mol18ng5.25×0.01/3.5mol(5.25-3.09)g得：n=8例2：4mLO2和3mLNxHy(Y＞X)混合气体在120℃、1.01×105Pa条件下点燃完全反应后，恢复到原温度和压强时，测得反应后N2、O2、H2O(气)混合气体密度减小3/10。（1）该反应的化学方程式为（2）通过计算确定的化学式-3-解析：设混合物的质量为W，反应前的密度为W/7，反应后的密度为W/7×7/10=W/10，即反应后气体的体积变为10mL。4NXHY+YO2====2XN2+2YH2O4Y2X2Y2X+2Y-Y-4310-7=3列比例式：Y=2(4-X)当X=1时，Y=6此时N的化合价不满足当X=2时，Y=4符合题意当X=3时，Y=2与题意Y＞X不符因此，NXHY的化学式为N2H42、十字交叉法：在高一年级化学课本中，有关元素原子量与同位素原子量的关系，就涉及到十字交叉法。对只有两种同位素的元素来说，若假设该种元素的原子量为A；两种同位素的原子量分别为a和b；两种同位素的原子量在同种元素原子中的摩尔分数分别为x1和x2那么:用十字交叉法即：很明显，能用十字交叉法解答的化学题中，相应的各量必须符合上述：若学生掌握这个原理，那么在应用十字交叉法时就有章可循，不易出错。-4-十字交叉法适用范围可归纳为八类,列表如下:注意：(b-A)/(A-a)的物理意义。a、bA(b-A)/(A-a)1溶液中溶质质量分数混合溶液的溶质质量分数两种溶液的质量比2物质中某元素的质量分数混合物中该元素的质量分数两种物质的质量比3溶液的密度混合溶液的密度两种溶液的体积比4同位素的质量数同位素的平均分子量两种同位素的物质的量之比5物质的分子量混合物的平均分子量两种物质的物质的量之比（相同条件下气态物质的体积比）6可燃性物质的燃烧热混合物的燃烧热两种物质的物质的量之比（相同条件下气态物质的体积比）7物质的摩尔质量各自反应后生成同种物质的摩尔质量两种物质的物质的量之比8物质分子组成中某种元素的原子个数混合物中该元素的平均原子数两种物质的物质的量之比（相同条件下气态物质的体积比）-5-例：已知白磷和氧气可发生如下反应：P4+3O2=P4O6，P4+5O2=P4O10在某一密闭容器中加入62克白磷和50.4升氧气(标准状况),使之恰好完全反应,所得到的P4O10与P4O6的物质的量之比为A.1:3B.3:2C.3:1D.1:1[分析]P4O1051.5\2.25/0.5//\P4O630.5根据O2物质的量守恒,满足此式的是5X+3Y=2.25/0.5，(X+Y)=1，X和Y之比是P4O10和P4O6物质的量比,故十字交叉得出的物质的量比为3:1,答案为C。3、不等式法：利用不等式的性质，半定量的解决一些问题。例：在100g浓度为18mol/L、密度为ρg/cm3的浓硫酸中加入一定量的水稀释成9mol/L的硫酸，则加入水的体积为：A.小于100mLB.等于100mLC.大于100mLD.等于100/ρmL[分析]设ρ2为稀释后溶液的密度，V为加水的体积，D为水的密度根据C1V1=C2V2有：18×100/ρ=9×V2V2=2×100/ρ=（100+V×D）/ρ2水的密度为1,则2×100/ρ=（100+V）/ρ2因ρ大于ρ2，所以V小于100mL。应选择A-6-4、极值法:例1：右图装置能否形成原电池?许多同学都不可置否。其实，两极间看起来无导线连接，但不妨这样想：若两极问有导线连接，且导线无限缩短不就是上述情况吗?很显然是可以形成原电池的。例2：有13.5克不纯的CuCl2粉未(内含一种杂质)，当它与足量的AgN03反应时，生成29克AgCl沉淀，则粉末中的杂质可能是()A．FeCl3B．CaCl2C．ZnCl2D．BaCl2解析：CuCl2式量为135，故可设13.5克全为CuCl2(极值处理)，则CuCl2是0.1摩尔，含Clˉ0.2摩尔，产生AgCl0.2摩尔，m(AgCl)143.5g／mol×0.2mol=28.7g28．7g29g所以杂质中Clˉ含量高。观察所给答案，将FeCl3变为Fe2/3Cl2，只看Fe2/3，Ca，Zn，Ba就知答案为A和B。例3：8.1克某碱金属R及其氧化物R2O组成的混合物，与水充分反应后，蒸发得到12克固体，通过计算确定该金属的名称。解析：应用极值假设法，设若全为金属，则有关系式设若全为金属氧化物，则有R---ROHR2O---2ROHRR+172R+162(R+17)8．1g12g8．1g12g解得，R=35.3解得，R=10.7所以金属原子量必介于10.7与35.3之间，即只能是Na。-7-5、平均值法：是一种将数学平均原理应用于化学计算的解题方法。它所依据的数学原理是两个数M1和M2的平均值M一定介于二者之间，即M1＜M＜M2，只要求出M1和M2即可确定M的范围，只要求出M同样就可判断出M1和M2的取值范围，再结合题目给出的条件便会很快的确定正确答案。例1：有铷（相对原子质量为85.5）与另一种碱金属的合金4.4克，与足量的水反应产生0.2克的氢气，求另一碱金属？分析：设合的平均组成用R表示，其平均相对原子质量为X，则有：2R+2H2O===2ROH+H2↑2x24.40.2x=22因铷的相对原子质量为85.5，则另一碱金属的相对原子质量必小于22，符合此条件的只有锂。例2：C2H4与下列哪种烃组成的混合物含炭质量百分数为87％？（）A、CH4B、C2H2C、C2H6D、C2H5OH6、数列法：数列法在化学解题中的应用关键在于找出d值和q值。例1：(等差数列法)现有一组稠环芳烃，它们组成可表示为（1)试求本组第5个分子的化学式；(2)此类烃最大含C量是多少?解析：由题可看出这是一组首项为a1=C10H8,公差d=C6H2的等差数列，所以(1)a5=a1+(5-1)d=C10H8+4C6H2=C34H16(可根据复数的实部虚部相加)-8-(2)a1=C10H8a2=C16H10a5=C34H16经分析此组芳烃随着C原子增加，C的含量越来越大，并呈单调性，所以其极限为Liman=72/74例2：(等比数列法)有NO2为3摩尔，已知有足够的水，求用多少摩尔O2可与其完全反应，使N完全被吸收？解析：将每次吸收当成一次实验，第一次产物NO经氧化生成的NO2作为第二次反应物，依次类推3NO2+H2O=NO+2HNO3(1次)31(2次)11／3(3次)1／3l／9………………2NO+02=2N02(1次)11／21(2次)1／31／61／3(3次)1／91／181／9……………………很明显，由第一次反应结束后生成l摩尔N02开始作为第二次反应物从头再来，呈周而复始，整个过程是可以用等比数列来入手，此数列a1=1／2，q=l／3所以Liman=1/2=3/41–1/3此处用的是等比数列求极限。另若将前两式相加除去NO，将得出另一新的计量方程：4NO2+O2+2H20=4HN03利用此方程可直接求出需02为3／4摩尔。这个方程的形成实际上也使用了极限思想。-9-7、排列组合法：例：有16O、18O、H、D、T五种原子，可以构成双氧水分子，其种类有。解析：双氧水分子中共有4个原子，将5种原子一一写出分子式太繁杂，可用排列组合法获得巧解。先分析出两类原子的取法：原子：16O、18O原子：H、D、T取法：C12+C22取法：C13+C23双氧水分子的种类为：（C12+C22）（C13+C23）=18种8、多元混合物计算题的解题思路：运用多种物质之间物质的量的相互关系，是混合物计算中最基本的解题思路。写出混合物中各物质的反应，寻找各物质的反应规律，把其中具有相同反应规律的物质看成一个“整体”，把三元混合物转化成“二元”混合物再解题。2、在解题中如能从原子个数守恒、离子电荷守恒等角度巧立化学反应过程中的各种量之间的关系，往往可以简化解题过程。例1：镁、铝、铁三种金属的混合物与足量稀硫酸充分反应，在标准状况下得到2.8LH2，则混合物中三种金属的物质的量之和可能为（）A．0.25molB．0.10molC．0.15molD．0.20mol分析：反应中Mg–2e=Mg2+Fe–2e=Fe2+Al–3e=Al3+2H++2e=H2反应中等量Mg、Fe失电子数相等，则可把Mg、Fe看成“一种”金属，由三元混合物的计算转化成“二元”混合物的计算。解答：反应中电子转移数为：2.8×2=0.25(mol)22.4再用极值法、电子守恒法解题：-10-（1）若金属全是Mg、Fe，则金属物质的量为：0.25÷2=0.125(mol)(2)若金属全是Al，则金属物质的量为：0.25÷3=0.083(mol)因此，混合物的物质的量之和的范围为：0.083mol~~0.125mol。∴答案选B。例2：在常温常压下，将16mlH2、CH4和C2H2的混合气体与足量O2混合，点燃使之完全燃烧；冷却后发现总体积比原来缩小26ml，则混合气体中CH4的体积为（）A．2mlB．４ｍlC．8mlD．无法求解分析：三种气体燃烧的方程式为：2H2+O22H2O-△V2体积1体积3体积2C2H2+5O24CO2+2H2O-△V2体积5体积4体积3体积CH4+2O2CO2+2H2O-△V1体积2体积1体积2体积由以上方程式可知，等量H2、C2H2燃烧后体积减小值相同，因此，可把H2、C2H2看成一个“整体”，即看成“一种气体”，从而把三元混合物转化成“二元”混合物。解答：设混合气体中CH4的体积为xml，H2、C2H2的体积为yml，则：x+y=162x+1.5y=26解得x=4y=12-11-∴答案选B。例3：在一密闭容器中混有CO2、CO、H2三种气体，其平均式量为26.25，投入