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《离散数学》代数系统1.以下集合和运算是否构成代数系统？如果构成，说明该系统是否满足结合律、交换律？求出该运算的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.1)P(B)关于对称差运算⊕，其中P(B)为幂集.构成代数系统；满足结合律、交换律；幺元φ；无零元；逆元为自身。2)A={a,b,c}，*运算如下表所示：构成代数系统；满足结合律、交换律；无幺元；无逆元；零元b.2.设集合A={a,b}，那么（1）在A上可以定义多少不同的二元运算？（2）在A上可以定义多少不同的具有交换律的二元运算？24个不同的二元运算；23个不同的具有交换律的二元运算3.设A={1,2},B是A上的等价关系的集合.1)列出B的元素.2元集合上只有2种划分，因此只有2个等价关系，即B={IA，EA}2)给出代数系统V=B,∩的运算表.3)求出V的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.幺元EA、零元IA；只有EA可逆，其逆元为EA.4)说明V是否为半群、独异点和群？V是为半群、独异点，不是群4.设A={a,b,c}，构造A上的二元运算*，使得a*b=c,c*b=b，且*运算满足幂等律、交换律.1)给出关于*运算的一个运算表.其中表中？位置可以是a、b、c。2)*运算是否满足结合律，为什么？不满足结合律；a*（b*b）=c≠（a*b）*b=b5.设R，*是一个代数系统。*是R上的一个二元运算，使得对于R(实数集合)中的任意元素a,b都有a*b=a+b+a·b(·和+为数集上的乘法和加法).证明：:R，*是独异点.6.如果S,*是半群，且*是可交换的.证明：如果S中有元素a,b,使得a*a=a和b*b=b，则(a*b)*(a*b)=a*b.(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b结合律=a*(a*b)*b交换律=(a*a)*(b*b)=a*b.7.设G,·,–1,e是一个群,则a,b,c∈S。试证明：群G中具有消去律,即成立:如果a·b=a·c,b·a=c·a那么b=c.8.求循环群Z16，+的所有生成元和子群.生成元有：1、3、5、7、9、11、13、15子群有：0、1、2、4、8.9.设G，*是群，a∈G.现定义一种新的二元运算⊙：x⊙y=x*a*y，x,y∈G.证明：G，⊙也是群.证明：显然⊙是G上的一个二元运算。∀x,y,z∈G，(x⊙y)⊙z=(x⊙y)*a*z=(x*a*y)*a*z=x*a*(y*a*z)=x*a*(y⊙z)=x⊙(y⊙z).故运算⊙满足结合律.∀x∈G，x⊙a-1=x*a*a-1=x*e=x，a-1⊙x=a-1*a*x=e*x=x，故a-1是幺元.∀x∈G，x⊙(a-1*x-1*a-1)=x*a*(a-1*x-1*a-1)=x*e*(x-1*a-1)=a-1.(a-1*x-1*a-1)⊙x=(a-1*x-1*a-1)*a*x=(a-1*x-1)*e*x=a-1.故a-1*x-1*a-1是x关于⊙的逆元.综上所述G,⊙是群.10.试写出模6加法群Z6，+6的每个子群及其相应的左陪集.Z6，+6的运算表如下所示：Z6，+6的子群：{0}，+6、{0,3}，+6、{0,2,4}，+6和Z6，+6.11.试aH和bH是子群H在G中的两个左陪集.证明：aH=bH或aH∩bH=12.试写出群和环的定义.13.证明偏序集与格的等价。14.设A={1,2,5,10,11,22,55,110}.1)A关于整除关系是否构成偏序集？构成偏序集2)如果构成偏序集合，画出其对应的哈斯图.3)如果构成偏序集，该偏序集合构成哪种格？(分配格、有界格、有补格、布尔格).分配格、有界格、有补格、布尔格