北京中国人民大学附中高考数学综合能力题选讲第23讲方案优化型综合问题(含详解)

1方案优化型综合问题题型预测寻找问题的最优解，是这一类题目的共同特点．解决问题的方法涉及均值不等式、单调性等求最值的方法，有些时候也用穷举法．由于与实际问题联系较紧密，此类问题在高考中往往以应用题的面目出现．范例选讲例1．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？讲解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为360030001250，所以这时租出了88辆车．（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：30003000100150505050xxfxx．整理得：2211622100040503070505050xfxxx．所以，当4050x时，fx最大，最大值为307050．即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元．点评：实际问题的最值要注意自变量的取值范围．例2．某工厂生产容积为23立方米的圆柱形无盖容器，制造底面的材料每平方米30元，制造侧面的材料每平方米20元，设计时材料的厚度及损耗可以忽略不计．(Ⅰ)把制造容器的成本y（元）表示成容器底面半径x（米）的函数，并指出当底面半径为多少时，制造容器的成本最低？求出最低成本；(Ⅱ)若为某种特殊需要，要求容器的底面半径不小于2（米），此时最低成本为多少元？（精确到1元）2讲解：（Ⅰ）设圆柱形容器的高为h，则232xh．所以，22603020230yxxhxx．因为0x，所以，226011303030390283yxxxxx元，等号当且仅当21xx，即1x时取得．(Ⅱ)当2x时，由（Ⅰ）可知，不能利用均值不等式来求解y的最小值，所以，我们可以考虑函数26030yxx的单调性．任取12,[2,)xx，且设12xx，则221212121212122223030yyxxxxxxxxxx，由于122xx，所以，12121220,0xxxxxx，所以，12yy，所以，函数26030yxx在区间[2,)上单调递增．所以，当2x时，y取得最小值为：150471（元）．点评：运用均值不等式要注意等号成立的条件．例3．小红现在是初一的学生，父母准备为他在银行存20000元，作为5年后上大学的费用，如果银行整存整取的年利率如下：利息税为20%，则小红父母应该选择怎样的存款方式，可使5年后所获收益最大．请说明理由．讲解：小红父母存款的方式可以有多种选择，但为了确保最大利润，应该遵循如下原则：（1）5年结束时，所存款项应该恰好到期（否则以活期记，损失较大）；（2）如果存两次（或两次以上），则第2次存款时，应该将第1次存款所得本息和全部存入银行．为叙述方便，用nmP表示把a元本金，先存一次n年期，再存一次m年期所得本息和．如：项目1年期2年期3年期5年期年利率ir1.98%2.25%2.52%2.79%3112P表示先存2个1年期，再存一个2年期所得本息和．首先，可以考虑下面的问题：nmmnPP是否成立？即把a元本金，先存一次n年期，再存一次m年期与先存一次m年期，再存一次n年期，所得本息和是否相同？因为44155kkkPaakrakr，所以，441155nmnmmnPanrmrP根据以上分析，我们只需考虑下面的几种情况：11111111112,,PP1113P，1122P，15123,PP，222P，33P．方法之一是直接计算，但运算量相对较大．为此，我们可以考虑下面的办法：（1）比较11P与2P的大小关系：因为2211144111.98%1.03255Paraa，224412122.25%1.03655Paraa，所以，11P2P．所以，只需考虑上述八种情况中的：15123,PP，222P，33P．（2）比较21P和3P的大小．124411.98%122.25%1.05255Paa，34132.52%1.0605Paa，所以，21P3P．所以，只需比较15P，222P，33P．因为：154411.98%152.79%1.12955Paa，32224122.25%1.1125Paa，42334132.52%1.1255Paa．所以，15P最大，即小红父母应该选择先存一次1年期，再存一次5年期（或先存一次5年期，再存一次1年期）获利最多．这与我们通常的认识是一致的．点评：本题的目的是通过分析、计算寻找问题的最优解．然而，如果通过穷举得出结论，计算可能就较为复杂了，因此，需要优化的不只是结果，还有运算的过程．