化工数学在化学与化工中的应用

第六章化工数学在化学与化工中的应用•线性代数复习总结•在化学与化工中的应用实例•体会学习《化工数学》的意义线性代数总结向量、向量组与线性方程组行列式矩阵方阵的特征值和特征向量线性空间第二章克莱姆法则线性方程组矩阵的初等变换矩阵的秩向量组的线性相关性向量组的秩线性方程组的解的结构维数、基与坐标线性变换第一章第三章第四章第五章一、行列式第一节二阶和三阶行列式第二节n阶行列式定义及性质第三节n阶行列式的计算第四节克莱姆法则重点是计算，利用性质熟练准确的计算出行列式的值二、矩阵第一节高斯消元法，矩阵，矩阵的初等变换第二节矩阵的运算第三节可逆矩阵第四节矩阵的分块第五节矩阵的秩，初等矩阵重点是：1概念（可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵）2运算（矩阵的符号运算、具体矩阵的数值运算）•意义？•书写符号不一样。•行列式是一个数值，而矩阵是一个数表。•行列式的行数和列数必须相等，而矩阵的行数和列数可以不相等。行列式和矩阵的区别三、向量和方程组第一节n维向量与线性相关性第二节向量组的秩数第三节齐次线性方程组解的结构第四节非齐次线性方程组解的结构重点是：1、线性相关（无关）的概念及几个相关定理2、向量组的极大无关组，等价向量组、向量组及矩阵的秩的概念及相互关系链接1.ppt四、矩阵的特征值和特征向量第一节特征值和特征向量的概念第二节特征值和特征向量的基本求法第三节特征值和特征向量的基本性质重点是：1、会求特征值和特征向量2、注意特征值和特征向量的性质及其应用2矩阵A的特征值为0齐次线性方程组0XAE)(0的非零解X0||0AE1实矩阵A有特征向量X,对应的特征值为0四、矩阵的特征值和特征向量五、线性空间和线性变换第一节线性空间的概念第二节线性空间的基、维数和坐标第三节线性变换第四节线性变换与矩阵重点是：1、基本概念清楚2、计算熟练线性代数第六章在化工中应用的实例6.1化学计量矩阵与化学平衡问题6.2因次分析中的应用6.3化学反应系统中的应用6.4简单不可逆连续反应系统研究在CO2和H2O存在下，由CO与H2合成甲醇的反应。（1）写出反应的原子矩阵形式；（2）求原子矩阵的秩（3）确定反应a1CH3OH+a2CO+a3H2+a4CO2+a5H2O=0的一套计量系数，即确定一组完整的独立反应组。引例？？1、用矩阵对物质进行表示。例1：由三种元素H，C和O组成的三种物质CO2，H2O和H2CO3的混合物，写出其原子矩阵形式的表示式。线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题在对物质和物质间的反应进行表示时，假定给定n个原子的总和，由这些原子构成所讨论的分子。用Bj表示相应于每个原子（用j标记）的排列有序的数和，它由0和1构成，其本质即原子的符号。于是，由这些原子组成的Ai物质的分子向量可表示为：（1）其中是Ai分子中Bj原子的数目。称具有整系数的向量式（1）为分子式或分子。1niijjjABijij线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题由原子组成的分子的总和可用以下方程组写出：（2）12,,,nBBB12,,,NAAA1112211njjjnjjjnNNjjjABABAB线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题若记（3）则式（21）可写成矩阵乘法的形式，即（4）1122NAAA=AnBBBB111121n1221222n2N1N2NnAAA=ANnBBB线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题或写成（5）其中表示由数组成的矩阵，称其为原子矩阵。线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题ABijNn原子矩阵例1：由三种元素H，C和O组成的三种物质CO2，H2O和H2CO3的混合物，写出其原子矩阵形式的表示式。2223COHOHCO012201213HCO012201213原子矩阵为线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题研究在CO2和H2O存在下，由CO与H2合成甲醇的反应。（1）写出反应的原子矩阵形式；（2）求原子矩阵的秩（3）确定反应a1CH3OH+a2CO+a3H2+a4CO2+a5H2O=0的一套计量系数，即确定一组完整的独立反应组。引例线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题2、用线性空间对物质和物质间的反应进行表示。例2：求含有物质CO2，H2O和H2CO3的子空间的维数，基底和坐标。线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题012012201201213000初等行变换2223COHOHCO012201213HCO解：r()2故其秩为线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题1231102012r012r012000000即原子矩阵中第三列可用第一列和第二列线性表示，故含有物质CO2，H2O和H2CO3的子空间的维数等于2．312线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题3121021120212220001＝线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题由于所以即2223222301110202012210111020201221COHHOCOHCOCOHOHCO011()202(C+2O)21HOBA线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题所以，可将结构片断和作为由物质CO2，H2O和H2CO3构成的子空间的基底。第一个片断可写为，第二个片断可写为，在该子空间的基底中，分子(向量)的总和可表示为12HO2CO212HO2CO222223011011COHOHOCOHCO线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题3、用矩阵对化学反应方程组进行表示。例3：写出由四种物质CH4，CH2O，O2和H2O所组成的集合的一套化学计量系数。线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题定理如果分子的原子矩阵β的秩为m，则这些分子必处于m维的空间Rm中。(1,2,,)iAiM线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题向量空间Rn包括了所有可能的由原子构成的物质。例如，碳氢化合物就可看作是由两类元素氢和碳构成的,即某空间Rn中的子集合。所以，重要的问题是确定一子空间Rm,而子集合处于子空间Rm中。定理如果分子的原子矩阵β的秩为m，则这些分子必处于m维的空间Rm中。12,,,nBBB(1,2,,)iAiM12,,,MAAA(1,2,,)iAiM如果，则不失一般性，可设矩阵β的前m列线性无关，并用它们表示其余的(n-m)列。用表示矩阵β的相应列向量，依上所述，则有：线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题()rm121,,,,,,mmn11,111,221,1122mmmmmmnnnnmm其中是相应的线性无关向量线性组合的系数。系数矩阵为：1,mj线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题若用表示由线性无关的列向量所组成的矩阵，不难证明(6)物质分子的矩阵形式为(7)(6)式代入(7),得(8)m+1,1m+2,1n1m+1,2m+2,2n2m+1,mm+2,mnm10000100000112,,,mABAB即(9)其中列向量的元素是式(4)中列向量B的元素的线性组合。因为通过它们表示所有的分子Ai，则它们就组成了子空间Rm的基底，其中包括所研究的分子。线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题ABB12,,,MAAA子空间的基底对于处在子空间Rm中的物质集合，利用式(1)～（4）总可以选择m个线性无关的元素，它们构成了该子空间的基底．此时原子矩阵表示该基底里的物质的和，而的秩为m(m个线性无关的行和列)。现设的前m行线性无关，则m十1，m十2,…，M行可用前m行的线性组合表示，得到(M—m)个方程线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题(1,2,,)iAiMjB12,,,MAAA线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题11,11100mmiimMiiaAiaAi（10）线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题式(10)的形式与一般化学反应方程组是一致的，故可将方程组(10)作为物质(反应物)的集合上的化学反应方程组。显然，表示原子矩阵的行之间的线性关系的齐次方程的最小数目为(M-m)，其中M是所研究体系中反应物的数目,m是它的原子矩阵的秩。把这些方程进行相互组合，可得到该反应物集合上的任何化学反应的方程，所以，对于描写M个反应物体系中的化学反应所必须的最小反应数目为（M-m)。12,,,mAAAiA线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题对于规则反应有：（11）其中i是参加反应物质的序号，k是反应的序号。对给定体系中的化学反应，可将化学计量系数写成向量的形式（12）所以该体系中所有反应总和的矩阵为（13）0kiiaAi12TkkkkMa11112121222212TMTMTkkkMkaaaaaaaaaa化学计量矩阵引入参加反应物质(分子)的列向量A（14）于是式（11）写成（15）或者对所有的反应写为（16）借助原子矩阵，使其变成原子的组合，即线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题12mAAAA0TkA0aA00TkABBB或于是在独立原子组合条件下可得到（17）（18）所以，对标以k的每个反应。都存在同样相对于的线性方程组(17)，这个方程组完全符合众所周知的化学反应方程组的一般原则，即化学反应式左边的某种原子数及电荷数等于右边的该原子数及电荷数．线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题0Tk0ki线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题4、用化学计量矩阵对化学反应进行表示。例3：写出由四种物质CH4，CH2O，O2和H2O所组成的集合的一套化学计量系数。解：线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题4222HB=COCHCHOAOHO原子矩阵写为410211002201求得，所以存在一个独立的化学反应。由式(18)，写出方程组线性代数第六章在化工中的应用实例6.16