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六、带电粒子在洛仑兹力作用下的运动教学目标1．使学生掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的规律．2．培养学生应用平面几何知识解决物理问题的能力．3．进行理论联系实际的思想教育．教学重点、难点分析1．如何确定圆运动的圆心和轨迹．2．如何运用数学工具解决物理问题．教学过程设计教师活动一、带电粒子在匀强磁场中运动规律初速度力的特点运动规律v=0f洛=0静止V//Bf洛=0匀速直线运动V⊥Bf洛=Bqv匀速圆周运动v与B成θ角f洛=Bqv⊥。等距螺旋（0＜θ＜90°）学生活动（由学生来填写内容）匀强磁场，求以下几种情况下，它们轨道半径之比及周期之比各是多少？（1）以相同速率射入磁场；（2）以相同动量射入磁场；（3）以相同动能射入磁场．解：因为带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，所以（1）因为三粒子速率相同，所以（2）因为三粒子动量相同，所以（3）因为三粒子初动能相同，所以通过例题1复习基本规律．由学生完成，注意公式变换．/PGN0187.TXT/PGN二、解题思路及方法圆运动的圆心的确定：1．利用洛仑兹力的方向永远指向圆心的特点，只要找到圆运动两个点上的洛仑兹力的方向，其延长线的交点必为圆心．2．利用圆上弦的中垂线必过圆心的特点找圆心[例2]如图3-6-1所示，abcd为绝缘挡板围成的正方形区域，其边长为L，在这个区域内存在着磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场．正、负电子分别从ab挡板中点K，沿垂直挡板ab方向射入场中，其质量为m，电量为e．若从d、P两点都有粒子射出，则正、负电子的入射速度分别为多少？（其中bP=L/4）问题1由老师带着学生做．做题过程中要特别注意分析圆心是怎样确定的，利用哪个三角形解题．提问：1．怎样确定圆心？2．利用哪个三角形求解？学生自己求解．把学生的解题过程和草图在实物展示台上展示、讲评．（1）分析：若为正电子，则初态洛仑兹力方向为竖直向上，该正电子将向上偏转且由d点射出．Kd线段为圆轨迹上的一条弦，其中垂线与洛仑兹力方向延长线交点必为圆心，设该点为O1．其轨迹为小于1/4的圆弧．解：如图3-6-2所示，设圆运动半径为R1，则O1K=O1d=R1由Rt△O1da可知：（2）解：若为负电子，初态洛仑兹力方向竖直向下，该电子将向下偏转由P点射出，KP为圆轨迹上的一条弦，其中垂线与洛仑兹力方向的交点必为圆心，设该点为O2，其轨迹为大于1/4圆弧．（如图3-6-2所示）由Rt△KbP可知：[例3]一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图3-6-3所示第一象限的区域．为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径．重力忽略不计．提问：1．带电质点的圆运动半径多大？2．带电质点在磁场中的运动轨迹有什么特点？3．在xy平面内什么位置加一个圆形磁场可使带电质点按题意运动？其中有什么样特点的圆形磁场为半径最小的磁场？常见错误：加以aM和bN连线交点为圆心的圆形磁场，其圆形磁场最小半径为R．分析：带电质点在磁场中做匀速圆周运动，其半径为因为带电质点在a、b两点速度方向垂直，所以带电质点在磁场中运动轨迹为1/4圆弧，O1为其圆心，如图3-6-4所示MN圆弧．在xy平面内加以MN连线为弦，且包含MN圆弧的所有圆形磁场均可使带电质点完成题意运动．其中以MN连线为半径的磁场为最小圆形磁场．解：设圆形磁场的圆心为O2点，半径为r，则由图知：小结：这是一个需要逆向思维的问题，同时考查了空间想象能力，即已知粒子运动轨迹，求所加圆形磁场的位置．考虑问题时，要抓住粒子运动特点，即该粒子只在所加磁场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的1/4圆弧必须包含在磁场区域中，且圆运动起点、终点必须是磁场边界上的点．然后再考虑磁场的最小半径．（计算机模拟）[例4]在真空中，半径为r=3×10-2m的圆形区域内，有一匀强磁场，磁场的磁感应强度为B=0.2T，方向如图3-6-5所示，一带正电粒子，以初速度v0=106m/s的速度从磁场边界上直径ab一端a点处射入磁场，已知该粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计粒子重力，则（1）粒子在磁场中匀速圆周运动的半径是多少？（2）若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以v0与Oa的夹角θ表示）？最大偏转角多大？问题：1．第一问由学生自己完成．2．在图中画出粒子以图示速度方向入射时，在磁场中运动的轨迹图，并找出速度的偏转角．（放实物展示台展示）3．讨论粒子速度方向发生变化后，粒子运动轨迹及速度偏转角的比．分析：（1）圆运动半径可直接代入公式求解．（2）先在圆中画出任意一速度方偏转角为初速度与未速度的夹角，且偏转角等于粒子运动轨迹所对应的圆心角．向入射时，其偏转角为哪个角？如图3-6-6所示．由图分析知：弦ac是粒子轨迹上的弦，也是圆形磁场的弦．因此，弦长的变化一定对应速度偏转角的变化，也一定对应粒子圆运动轨迹的圆心角的变化．所以当弦长为圆形磁场直径时，偏转角最大．解：（1）设粒子圆运动半径为R，则（2）由图3-6-6知：弦长最大值为ab=2r=6×10-2m设速度偏转角最大值为αm，此时初速度方向与ab连线夹角为θ，则当粒子以与ab夹角为37°斜向右上方入射时，粒子飞离磁场时有最大偏转角，其最大值为74°．小结：本题所涉及的问题是一个动态问题，即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动，但因其初速度方向变化，使得粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化，要会灵活运用平面几何知识去解决．计算机演示：（1）随粒子入射速度方向的变化，粒子飞离磁场时速度偏转角的变化．（2）随粒子入射速度方向的变化，粒子做匀速圆周运动的圆心的运动轨迹．其轨迹为以a点为圆心的一段圆弧．[例5]如图3-6-7所示，很长的平行边界面M、N与N、P间距分别为L1、L2，其间分别有磁感应强度为B1与B2的匀强磁场区，磁场方向均垂直纸面向里．已知B1≠B2，一个带正电的粒子电量为q，质量为m，以大小为v0。的速度垂直边界面M与磁场方向射入MN间磁场区，试讨论粒子速度v0应满足什么条件，才能通过两个磁场区，并从边界面P射出？（不计粒子重力）问题：1．该粒子在两磁场中运动速率是否相同？2．什么是粒子运动通过磁场或不通过磁场的临界条件？3．画出轨迹草图并计算。分析：带电粒子在两磁场中做半径不同的匀速圆周运动，但因为洛仑兹力永远不做功，所以带电粒子运动速率不变．粒子恰好不能通过两磁场的临界条件是粒子到达边界P时，其速度方向平行于边界面．粒子在磁场中轨迹如图3-6-8所示．再利用平面几何和圆运动规律即可求解．解：如图3-6-8所示，设O1、O2分别为带电粒子在磁场B1和B2中运动轨迹的圆心．则设角α、β分别为粒子在磁场B1和B2中运动轨迹所对应圆心角，则由几何关系知α+β＝90°若粒子能通过两磁场区，则小结：1．洛仑兹力永远不做功，因此磁场中带电粒子的动能不变．2．仔细审题，挖掘隐含条件．[例6]在M、N两条长直导线所在的平面内，一带电粒子的运动轨迹，如图3-6-9所示．已知两条导线M、N只有一条中有恒定电流，另一条导线中无电流，关于电流、电流方向和粒子带电情况及运动方向，可能是A．M中通有自上而下的恒定电流，带正电的粒子从b点向a点运动．B．M中通有自上而下的恒定电流，带负电的粒子从a点向b点运动C．N中通有自下而上的恒定电流，带正电的粒子从b点向a点运动D．N中通有自下而上的恒定电流，带负电的粒子从a点向b点运动让学生讨论得出结果．很多学生会选择所有选项，或对称选择A、D（或B、C）．前者是因为没有考虑直线电流在周围产生非匀强磁场，带电粒子在其中不做匀速圆周运动．后者是在选择过程中有很强的猜测成分．分析：两根直线电流在周围空间产生的磁场为非匀强磁场，靠近导线处磁场强，远离导线处磁场弱．所以带电粒子在该磁场中不做匀速圆周运动，而是复杂曲线运动．因为带电粒子在运动中始终只受到洛仑兹力作用，所以可以定性使用圆运动半径规律R=mv/Bq．由该规律知，磁场越强处，曲率半径越小，曲线越弯曲；反之，曲线弯曲程度越小．解：选项A、B正确．小结：这是一道带电粒子在非匀强磁场中运动的问题，这时粒子做复杂曲线运动，不再是匀速圆周运动．但在定性解决这类问题时可使用前面所分析的半径公式．洛仑兹力永远不做功仍成立．同步练习（A组）一、选择题1．如图3-6-10所示，核和核在匀强磁场中以相同的动能沿垂直于磁感线方向运动[]A．氚核运动半径较大，氚核先回到出发点B．氚核运动半径较大，氚核先回到出发点C．氚核运动半径较大，氚核先回到出发点D．氚核运动半径较大，氚核先回到出发点二、非选择题2．如图3-6-11所示，在x轴上方（y≥0）存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．在原点O有一离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、电量为q的正离子，速率都为v．对那些在xy平面内运动的离子，在磁场中可能到达的最大x=______，最大y=______．3．如图3-6-12所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内，有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．一对正、负电子从O点沿纸面以相同速度v射入磁场中，速度方向与磁场边界Ox成30°角，则正、负电子在磁场中运动时间之比为多少？粒子离开磁场时的坐标为多少？（B组）一、选择题1．一个带电粒子，沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场．粒子的一段径迹如图3-6-13所示．径迹上的每一小段都可近似看成圆弧．由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减少（带电量不变），从图中情况可以确定[]A．粒子从a到b，带正电B．粒子从b到a，带正电C．粒子从a到b，带负电D．粒子从b到a，带负电二、非选择题2．有一带正电的粒子，在匀强磁场中与磁感线相垂直的平面内，沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动，当粒子运动到A点时，突然分裂为带电量相等的两部分，它们的质量比为1∶3．观察到其中较小的部分在原平面内沿顺时针方向做半径为r1=R/2的匀速圆周运动，如图3-6-14虚线所示．则质量较大部分在磁场中做匀速圆周运动的半径为多大？其运动方向是顺时针还是逆时针的？3．如图3-6-15所示，匀强磁场区域的宽度d=8cm，磁感应强度B=0.332T，磁场方向垂直纸面向里．在磁场边界aa′的中央放置一放射源S，它向各个方向均匀放射出速率相同的a粒子，已知a粒子的质量m=6.64×10-27kg，电量q=3.2×10-19C，初速度v0=3.2×106m/s，荧光屏bb′的面积远比板间距离要大．求荧光屏bb′上出现闪烁的范围？4．如图3-6-16（用）所示，M、N为竖直放置、彼此平行的两块平行金属板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对．在两板间有垂直于纸面方向的磁场．磁感应强度随时间的变化如图（乙）所示．有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知离子质量为m，带电量为q，离子在磁场中做匀速圆周运动与磁感应强度变化的周期都为T0．不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．求：（1）磁感应强度B0的大小．（2）要使离子从O′垂直于N板射出磁场，离子射出磁场时的速度应为多大？（C组）非选择题1．如图3-6-17所示，在某装置中有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于Oxy所在的纸面向外．某时刻在x=l0、y=0处，一质子沿y轴负方向进入磁场；同一时刻，在x=-l0、y=0处，一个a粒子进入磁场，速度方向与磁场垂直．不考虑质子与α粒子的相互作用．设质子质量为m、电量为e．求：（1）如果质子经过坐标原点O，它的速度为多大？（2）如果a粒子与质子在坐标原点相遇，a粒子的速度应为何值？方向如何？2．图2-6-18中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外．O是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电量为+q、质量为m、速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向．已知先后射入的两个