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1分式方程的解法及应用（提高）【学习目标】1.了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2.会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】【高清课堂分式方程的解法及应用知识要点】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；2（6）写出答案.【典型例题】类型一、判别分式方程【高清课堂分式方程的解法及应用例1】1、下列各式中，哪些是分式方程？哪些不是分式方程？为什么？（1）21753997xx（2）352yy（3）31422yy（4）221531xxx【答案与解析】解：（1）虽然方程里含有分母，但是分母里没有未知数，所以不是分式方程；（2）具备分式方程的三个特征，是分式方程；（3）31422yy没有等号，所以不是方程，它是一个代数式；（4）方程具备分式方程的三个特征，是分式方程．特别提醒：（3）题是一个代数式，不是方程，容易判断错误；【总结升华】整式方程与分式方程的区别在于分母里有没有未知数，有未知数的就是分式方程，没有未知数的就是整式方程．类型二、解复杂分式方程的技巧2、解方程：1310414351xxxx．【答案与解析】解：方程的左右两边分别通分，得3131(4)(3)(5)(1)xxxxxx，∴31310(4)(3)(5)(1)xxxxxx，∴11(31)0(4)(3)(5)(1)xxxxx，∴310x，或110(4)(3)(5)(1)xxxx，由310x，解得13x，由110(4)(3)(5)(1)xxxx，解得7x．3经检验：13x，7x是原方程的根.【总结升华】若用常规方法，方程两边同乘(4)(3)(5)(1)xxxx，去分母后的整式方程的解很难求出来．注意方程左右两边的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右两边分别通分的方法来解．举一反三：【变式】解方程11114756xxxx．【答案】解：移项得11114567xxxx，两边同时通分得(5)(4)(7)(6)(4)(5)(6)(7)xxxxxxxx，即11(4)(5)(6)(7)xxxx，因为两个分式分子相同，分式值相等，则分式分母相等．所以(4)(5)(6)(7)xxxx，229201342xxxx，2292013420xxxx，4220x，∴112x．检验：当112x时，(4)(5)(6)(7)0xxxx．∴112x是原方程的根．类型三、分式方程的增根【高清课堂分式方程的解法及应用例3】3、（1）若分式方程223242mxxxx有增根，求m值；（2）若分式方程2221151kkxxxxx有增根1x，求k的值．【思路点拨】（1）若分式方程产生增根，则(2)(2)0xx，即2x或2x，然后把2x代入由分式方程转化得的整式方程求出m的值．（2）将分式方程转化成整式方程后，把1x代入解出k的值.【答案与解析】4解：（1）方程两边同乘(2)(2)xx，得2(2)3(2)xmxx．∴(1)10mx．∴101xm．由题意知增根为2x或2x，∴1021m或1021m．∴4m或6m．（2）方程两边同乘(1)(1)xxx，得(1)(1)(5)(1)kxxkx．∴34xk．∴43kx．∵增根为1x，∴413k．∴1k．【总结升华】(1)在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根做作原方程的增根．在分式方程中，使最简公分母为零的根是原方程的增根；(2)这类问题的解法都是首先把它们化成整式方程，然后由条件中的增根，求得未知字母的值．举一反三：【变式】已知关于x的方程322133xaxxx无解，求a的值．【答案】解：方程两边同乘(3)x约去分母，得(32)(2)(3)xaxx，即(1)2ax．①∵30x，即3x时原方程无解，∴(1)32a，∴53a．②∵当10a时，整式方程(1)2ax无解，∴当1a时，原方程无解．综上所述，当53a或1a时，原方程无解．类型四、分式方程的应用【高清课堂分式方程的解法及应用例3】4、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．5(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米?(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种?请你帮助设计出来．【思路点拨】(1)题中的等量关系是甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．（2）由工期不超过10天列出不等式组求出范围.【答案与解析】解：(1)设甲工程队每天能铺设x米，则乙工程队每天能铺设20x米．根据题意，得35025020xx．解得70x．经检验，70x是原分式方程的解且符合题意．故甲、乙两工程队每天分别能铺设70米和50米．(2)设分配给甲工程队y米，则分配给乙工程队1000y米．由题意，得10,70100010,50yy解得500≤y≤700．方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米．方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米．方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米．所以分配方案有3种．【总结升华】本题主要考查列分式方程解应用题，考查学生分析和解决问题的能力.举一反三：【变式】一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地，所行的路程与时间的函数图象如图所示，试根据图象，回答下列问题：(1)慢车比快车早出发________h，快车追上慢车时行驶了________km，快车比慢车早________h到达B地；(2)求慢车、快车的速度．【答案】(1)22764；解：(2)设快车速度为x/kmh，则慢车速度为23x/kmh(因为快车跑完全程需12h，慢车跑完全程需18h)．依题意，得276276223xx，6去分母，得276×2＝276×3－4x，所以69x，经检验知69x是原方程的解，所以2463x，答：慢车、快车的速度分别为46/kmh、69/kmh．