北京大学2003-2012年真题量子力学

北京大学2003——2012学年量子力学考研真题与原子物理试题答案题号一二三四五总分学院：班级：学号：姓名：得分可能会有用的公式：薛定谔方程：ˆHit一维定态薛定谔方程：2222dVxxExmdx动量算符：ˆpix高斯积分：2xedx一。[30分]一维无限深方势阱：质量为m的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为：0;0,;0,xaVxxxa1。[10分]求解能量本征值nE和归一化的本征函数()nx；2。[5分]若已知0t时，该粒子状态为：121,0()()2xxx，求t时刻该粒子的波函数；3。[5分]求t时刻测量到粒子的能量分别为1E和2E的几率是多少？4。[10分]求t时刻粒子的平均能量E和平均位置x。解：1）[10分]22222sin2nnnxaanEma2）[5分],niEtnnxtxet时刻的波函数：12121,()()2iEtiEtxtxexe3）[5分]t时刻测量到粒子的能量为1E的几率是：211,,2xtxtt时刻测量到粒子的能量为2E的几率是：221,,2xtxt4）[10分]平均能量：221225ˆ,,,,24EEExtExtxtixttma平均位置：12216,,cos29EEtaaxxtxxt二。[30分]一维线性谐振子：质量为m的粒子在一维线性谐振子势：22()2mxVx中运动。按占有数表象，哈密顿可写为：†12Haa。这里ˆa是湮灭算符，†ˆa是产生算符：†22miaxpmmiaxpm已知一维线性谐振子基态波函数为：1。[10分]利用产生算符性质：†01ˆaxx，求线性谐振子第一激发态在坐标表象下的波函数：1x；（12420mxmxe）2。[10分]假设粒子处在基态0x，突然改变一维线性谐振子的“振动频率”为2，粒子新的基态能是多少？新的基态波函数是什么？3。[10分]假设这时粒子波函数仍然保持不变（1242mxmxe），此时测量粒子能量，发现粒子能量取新的基态能的几率是多少？解：1）[10分]124†2102mxmimxaxxpem利用：,dxxpidx，2201/4exp2xx，其中：m22†101/42221/422221/41/43/2222221/41/43/21/4exp221exp221expexp22221expexp22222exidxxaxxmidxdxxdxxxdxdxxxxxx220p22xxx2）[10分]新基态能：02E新基态波函数：112244202mxmxmmxee3）[10分]测量粒子能量取新基态能的几率：221/4022220.942833wx三。[40分]两电子波函数：考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或是反对称的。由于电子是费米子，整体波函数在交换全部坐标变量（包括空间部分和自旋部分）时必须是反对称的。1。[15分]假设空间部分波函数是反对称的，求对应自旋部分波函数。总自旋算符定义为：12Sss。求：2S和zS的本征值；2。[15分]假设空间部分波函数是对称的，求对应自旋部分波函数，2S和zS的本征值；3。[10分]假设两电子系统哈密顿量为：12HJss，分别针对（1）（2）两种情形，求系统的能量。解：1）[15分]自旋三重态（spintriplet）空间部分波函数是反对称的，自旋部分应对称：12s对应总自旋平方2S本征值为：22对应总自旋第三分量zS本征值分别为：,,02）[15分]自旋单态（spinsinglet）空间部分波函数是对称的，自旋部分应反对称：12A对应总自旋平方2S本征值为：0对应总自旋第三分量zS本征值分别为：03）[10分]哈密顿：12HJss，利用：22212122Sssss针对自旋三重态：22212322424ss，对应能量：24TJE针对自旋单态：22123023424ss，对应能量：234SJE