2012年全国高中数学联赛试题及详细解析

12012年全国高中数学联赛一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．1.设P是函数2yxx（0x）的图像上任意一点，过点P分别向直线yx和y轴作垂线，垂足分别为,AB，则PAPB的值是_____________.6.设()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，()fxx．若对任意的[,2]xaa，不等式()2()fxafx恒成立，则实数a的取值范围是_____________.7．满足11sin43n的所有正整数n的和是_____________.8．某情报站有,,,ABCD四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用Ａ种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是_____________.（用最简分数表示）二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．9．（本小题满分16分）已知函数131()sincos2,,022fxaxxaaRaa（1）若对任意xR，都有()0fx，求a的取值范围；（2）若2a，且存在xR，使得()0fx，求a的取值范围．10．（本小题满分２０分）已知数列na的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有23331212()nnaaaaaa（1）当3n时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,aaa;（2）是否存在满足条件的无穷数列{}na，使得20132012?a若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．211．（本小题满分20分）如图5，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且6OBOD．（1）求证：||||OAOC为定值；（2）当点A在半圆22(2)4xy（24x）上运动时，求点C的轨迹．三、（本题满分50分）设012,,,,nPPPP是平面上1n个点，它们两两间的距离的最小值为(0)dd求证：01020()(1)!3nndPPPPPPn3四、（本题满分50分）设1112nSn，n是正整数．证明：对满足01ab的任意实数,ab，数列{[]}nnSS中有无穷多项属于(,)ab．这里，[]x表示不超过实数x的最大整数．[来源:学.科.网]2012年全国高中数学联赛一试及加试试题4参考答案及详细评分标准(A卷word版)一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．１．设P是函数2yxx（0x）的图像上任意一点，过点P分别向直线yx和y轴作垂线，垂足分别为,AB，则PAPB的值是．２．设ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足3coscos5aBbAc，则tantanAB的值是.【答案】4[来源:学&科&网Z&X&X&K]３．设,,[0,1]xyz，则||||||Mxyyzzx的最大值是.【答案】21[来源:学&科&网]【解析】不妨设01,xyz则.Myxzyzx因为2[()()]2().yxzyyxzyzx所以2()(21)21.Mzxzxzx当且仅当1,0,1,2yxzyxzy时上式等号同时成立.故max21.M4.抛物线22(0)ypxp的焦点为F，准线为ｌ，,AB是抛物线上的两个动点，且满足3AFB．设线段ＡＢ的中点M在ｌ上的投影为N，则||||MNAB的最大值是.【答案】1[来源:Zxxk.Com]5【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AFBFMN在AFB中,由余弦定理得2222cos3ABAFBFAFBF2()3AFBFAFBF22()3()2AFBFAFBF22().2AFBFMN当且仅当AFBF时等号成立.故MNAB的最大值为1.5．设同底的两个正三棱锥PABC和QABC内接于同一个球．若正三棱锥PABC的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥QABC的侧面与底面所成角的正切值是．6.设()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，()fxx．若对任意的[,2]xaa，不等式()2()fxafx恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】[2,).７．满足11sin43n的所有正整数n的和是．【答案】33【解析】由正弦函数的凸性,有当(0,)6x时,3sin,xxx由此得6131sin,sin,1313412124131sin,sin.10103993所以11sinsinsinsinsin.13412111039故满足11sin43n的正整数n的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.８．某情报站有,,,ABCD四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．９．（本小题满分１６分）已知函数131()sincos2,,022fxaxxaaRaa（１）若对任意xR，都有()0fx，求a的取值范围；（２）若2a，且存在xR，使得()0fx，求a的取值范围．１０．（本小题满分２０分）已知数列na的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有23331212()nnaaaaaa（１）当3n时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,aaa;7（２）是否存在满足条件的无穷数列{}na，使得20132012?a若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．１１．（本小题满分２０分）如图5，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且6OBOD．（１）求证：||||OAOC为定值；（２）当点A在半圆22(2)4xy（24x）上运动时，求点C的轨迹．【解析】因为,,OBODABADBCCD所以,,OAC三点共线如图,连结BD,则BD垂直平分线段AC,设垂足为K,于是有()()OAOCOKAKOKAK22OKAK2222()()OBBKABBK22226420OBAB(定值)(2)设(,),(22cos,2sin),CxyA其中(),22XMA则2XOC.因为2222(22cos)(2sin)8(1cos)16cos,2OA所以4cos2OA由(1)的结论得cos5,2OC所以cos5.2xOC从而sin5tan[5,5].22yOC故点C的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为(5,5),(5,5)AB82012年全国高中数学联赛加试试题（A卷）一、（本题满分４０分）[来源:学科网]如图，在锐角ABC中，,,ABACMN是BC边上不同的两点，使得.BAMCAN设ABC和AMN的外心分别为12,OO，求证：12,,OOA三点共线。证法一:令1,12,kbmxby消去b得121.kymx由于1(2,)1,km这方程必有整数解;1002kxxtyymt其中00,(,)tzxy为方程的特解.把最小的正整数解记为(,),xy则12kx,故21,bmxa使(1)bb是2a的倍数．……40分证法二:由于1(2,)1,km由中国剩余定理知,同余方程组10(mod2)1(mod)kxxmm在区间1(0,2)km上有解,xb即存在21,ba使(1)bb是2a的倍数．…………40分证法三:由于(2,)1,m总存在(,1),rrNrm使21(mod)rm取,tN使1,trk则21(mod)trm存在1(21)(2)0,,trkbqmqN使021,ba此时1,21,kmbm因而(1)bb是2a的倍数．……………40分9三、（本题满分５０分）设012,,,,nPPPP是平面上1n个点，它们两两间的距离的最小值为(0)dd求证：01020()(1)!3nndPPPPPPn四、（本题满分５０分）设1112nSn，ｎ是正整数．证明：对满足01ab的任意实数,ab，数列{[]}nnSS中有无穷多项属于(,)ab．这里，[]x表示不超过实数ｘ的最大整数．【解析】证法一:(1)对任意nN,有1021111232nnS121111111()()2212212nn22111111()()22222nn111112222n证法二:(1)21111232nnS121111111()()2212212nn22111111()()22222nn111112222n