北京市东城区10-11学年高二数学下学期期末考试理新人教A版

-1-北京市东城区（南片）2010-2011学年下学期高二年级期末统一测试数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知复数iz211，iz12，那么21zzz在复平面上对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.45352515CCCC的值为A.32B.31C.30D.293.已知152ABP，52AP，那么ABP|等于A.754B.31C.32D.434.动点cossin,cossinP（为参数）的轨迹方程是A.122yxB.222yxC.122yxD.222yx5.图中由函数xfy的图象与x轴围成的阴影部分面积，用定积分可表示为A.33dxxfB.1331dxxfdxxfC.13dxxfD.3113dxxfdxxf6.以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不．正确的序号是A.③④B.①②C.②③D.②④7.一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有A.6种B.12种C.36种D.72种-2-8.若4kx，xxxtan1tan14tan，则xytan的周期为。类比可推出：设Rx且xfxfxf11，则xfy的周期是A.B.2C.4D.59.设函数Rxxfy是可导的函数，若满足02xfx，则必有A.2231fffB.2231fffC.2231fffD.2231fff第Ⅱ卷（非选择题，共64分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分。）10.由数字1，2，3，4组成没有重复数字的4位数，其中奇数共有____________个。11.已知*131211Nnnnf，经计算得232f，24f，258f，316f，2732f，推测当2n时，有nf2_____________。12.随机变量的分布列为01xP51p103且1.1E，则p_________；x____________。13.若3,4A，6,4B，则AB____________；AOBS___________。（其中O是极点）14.有甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为YX、（单位：s），其分布如下：X101P0.10.80.1Y21012P0.10.20.40.20.1则两种品牌中质量好的是____________。（填甲或乙）15.曲线12xey与y轴的交点的切线方程为_______________。三、解答题：（本大题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分8分）已知直线的极坐标方程为224sin，圆C的参数方程,sin22,cos2yx（其中为参数）。（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）将圆的参数方程化为普通方程；（Ⅲ）求圆C上的点到直线的距离的最小值。17.（本小题满分7分）有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上分别写上0，1，2，现从中任意-3-抽取一张，将其上的数字记作x，然后放回，再抽取一张，将其上的数字记作y，令yxX。（Ⅰ）求X所取各值的概率；（Ⅱ）求X的分布列，并求出X的数学期望值。18.（本小题满分8分）利用展开式nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110*Nn回答下列问题：（Ⅰ）求1021x的展开式中4x的系数；（Ⅱ）通过给ba,以适当的值，将下式化简：nnnnnnnCCCC21222210；（Ⅲ）把（Ⅱ）中化简后的结果作为na，求81nna的值。19.（本小题满分8分）数列na满足*2Nnansnn。（Ⅰ）计算4321,,,aaaa，并由此猜想通项公式na；（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想。20.（本小题满分9分）已知函数0ln1axaxaxxf。（Ⅰ）当5a时，求函数xf的单调递增区间；（Ⅱ）求xf的极大值；（Ⅲ）求证：对于任意1a，函数0xf在a,0上恒成立。-4-【试题答案】第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）题目123456789答案ACBBDABCA第Ⅱ卷（非选择题，共64分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分。）10.1211.22n12.21；213.24，814.甲15.eexy2三、解答题：（本大题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分8分）解：（Ⅰ）极点为直角坐标原点O，22cos22sin224sin，所以1cossin，可化为直角坐标方程：01yx。……3分（Ⅱ）将圆的参数方程化为普通方程：4222yx。……………6分（Ⅲ）因为圆心为2,0C，所以点C到直线的距离为223232120d，所以圆上的点到直线距离的最小值为2423。………………………8分17.（本小题满分7分）解：（Ⅰ）953350XP；9133111XP；9233112XP；913314XP。………………………4分（Ⅱ）X的分布列为X0124P95919291所以X的数学期望为1914922911950XE。…………………7分18.（本小题满分8分）解：（Ⅰ）因为28210191100100101021212121xCxCxCx100101021xC所以446410336021xxC，即1021x的展开式中4x的系数为3360。………3分（Ⅱ）令1a，21b，得-5-nnnnnnnnnCCCC2121121222210。………………………6分（Ⅲ）256255212121218281nn。………………………………………8分19.（本小题满分8分）解：（Ⅰ）当1n时，1112asa，所以11a。当2n时，222122asaa，所以232a。同理：473a，8154a。由此猜想*1212Nnannn…………………………………………………5分（Ⅱ）证明：①当1n时，左边11a，右边1，结论成立。②假设*1Nkkkn且时，结论成立，即1212kkka，那么1kn时，11112212kkkkkkkaaakakssa，所以kkaa221，所以kkkkkkaa2122212222111，这表明1kn时，结论成立。由①②知对一切*Nn猜想1212nnna成立。……………………………8分20.（本小题满分9分）解：定义域为,0，且211xaxaxf（Ⅰ）当5a时，22225156561xxxxxxxxxf，令0xf，解得5x或1x。故函数xf在1,0，,5上单调递增。…………2分（Ⅱ）令0xf，即011112222xxaxxaxaxxaxa，当1a时，上式化为0122xx恒成立。故xf在,0上单调递增，无极值；当1a时，解得1x或ax。故xf在1,0，,a上单调递增，在a,1上单调递减。x1,01a,1a,axf+0-0+xf增极大值减极小值增故xf在1x处有极大值af11。当10a时，解得ax或1x。故xf在a,0，,1上单调递增，在1,a上单调递减；-6-xa,0a1,a1,1xf+0-0+xf增极大值减极小值增故xf在ax处有极大值aaaafln11。………………………7分（Ⅲ）证明：当1a时，由（2）可知xf在1,0，,a上单调递增，在a,1上单调递减。故xf在a,0上的最大值为af11。要证函数0xf在a,0上恒成立只要证xf在a,0上的最大值01f即可。即证01a恒成立。因为1a，故01a。由此可知，对任意1a，0xf在a,0上恒成立。………………………9分