北京市丰台区2012年高三二模数学(文)

丰台区高三数学二模（文科）第1页共8页北京市丰台区2012年高三二模2012.5数学（文科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数1i2i的虚部是(A)–1(B)35(C)i(D)3i52．设a，b是向量，命题“若ab，则ab”的否命题是(A)若ab，则ab(B)若ab，则ab(C)若ab，则ab(D)若ab，则ab3．设等比数列{}na的前n项和为nS，若22a，514a，则4S的值为(A)152(B)516(C)516(D)524．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，给出以下四个结论：①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C与PM相交；④NC与PM异面．其中不．正确的结论是(A)①(B)②(C)③(D)④5．函数()sin()fxxxxR(A)是偶函数，且在(,+)上是减函数(B)是偶函数，且在(,+)上是增函数(C)是奇函数，且在(,+)上是减函数(D)是奇函数，且在(,+)上是增函数6．在△ABC中，∠BAC=90º，D是BC的中点，AB=4，AC=3，则ADBC=(A)-7(B)72(C)72(D)77．已知函数sin(0)yaxba的图象如图所示，则函数log()ayxb的图象可能是QPNMD1C1A1B1DCAB丰台区高三数学二模（文科）第2页共8页开始结束0S，1n，3aSSa2aa1nn输出S是否6n(A)(B)(C)(D)8．已知平面上四个点1(0,0)A，2(23,2)A，3(234,2)A，4(4,0)A．设D是四边形1234AAAA及其内部的点构成的集合，点0P是四边形对角线的交点，若集合0{|||||,1,2,3,4}iSPDPPPAi，则集合S所表示的平面区域的面积为(A)16(B)8(C)4(D)2第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知集合A=｛x｜2x-x20｝，B=｛x｜x1｝，则AB______．10．某地区恩格尔系数(%)y与年份x的统计数据如下表：年份x2004200520062007恩格尔系数y(%)4745.543.541从散点图可以看出y与x线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25ybx，则ˆb=______，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为______．11．已知cos2sin，则cos2的值为______．12．执行如右图所示的程序框图，则输出的结果是______．13．已知双曲线2222128xymm上一点M到两个焦点的距离分别为20和4，则该双曲线的离心率为______．丰台区高三数学二模（文科）第3页共8页QPBACD14．在平面直角坐标系中，若点A，B同时满足：①点A，B都在函数()yfx图象上；②点A，B关于原点对称，则称点对(A,B)是函数()yfx的一个“姐妹点对”（规定点对(A,B)与点对(B,A)是同一个“姐妹点对”）．那么函数24,0,()2,0,xxfxxxx的“姐妹点对”的个数为_______．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数1()cos(cos3sin)2fxxxx．（Ⅰ）求()6f的值；（Ⅱ）求函数()yfx在区间[0,]2上的最小值，并求使()yfx取得最小值时的x的值．16.（本小题共13分）某地区农科所为了选择更适应本地区种植的棉花品种，在该地区选择了5块土地，每块土地平均分成面积相等的两部分，分别种植甲、乙两个品种的棉花，收获时测得棉花的亩产量如下图所示：（Ⅰ）请问甲、乙两种棉花哪种亩产量更稳定，并说明理由；（Ⅱ）求从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地，这两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率．17.（本小题共14分）如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，Q是棱PA上的动点．（Ⅰ）若Q是PA的中点，求证：PC//平面BDQ；（Ⅱ）若PB=PD，求证：BD⊥CQ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若PA=PC，PB=3，∠ABC=60º，求四棱锥P-ABCD的体积．18.（本小题共13分）014387255511109乙甲丰台区高三数学二模（文科）第4页共8页已知等差数列{an}的公差0d，该数列的前n项和为nS，且满足2352Saa．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设11ba，*12()nannbbnN，求数列{bn}的通项公式．19.（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点1F，2F在x轴上，焦距为22，P是椭圆上一动点，12PFF的面积最大值为2．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)M的直线l交椭圆C于,AB两点，交y轴于点N，若1NAAM，2NBBM，求证：12为定值．20.（本小题共13分）已知函数f(x)=lnx，()bgxaxx，两函数图象的交点在x轴上，且在该点处切线相同．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求证：当x1时，f(x)g(x)成立；（Ⅲ）证明：1111...ln(1)23nn（*nN）．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区高三数学二模（文科）第5页共8页北京市丰台区2012年高三二模数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案BDABDBAC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．12xx10．-2，31.2511．3512．6313．5414．1注：第10题第一个空答对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．解：因为1()cos(cos3sin)2fxxxx＝21cos3sincos2xxx＝1cos233sin2222xx＝13cos2sin222xx＝cos(2)3x．（Ⅰ）()6f＝cos(2)63＝12．……………………7分（Ⅱ）因为[0,]2x，所以42333x．当23x，即3x时，函数()yfx有最小值是1．当3x时，函数()yfx有最小值是1．……………………13分16．解：（Ⅰ）由茎叶图可知甲种棉花的平均亩产量为：95+102+105+107+111=1045，方差为2222221=[(95104)+(102104)+(105104)+(107104)+(111104)]=28.85S甲．乙种棉花的平均亩产量为：98+103+104+105+110=1045，方差为2222221=[(98104)+(103104)+(104104)+(105104)+(110104)]=14.85S乙．因为22SS乙甲，丰台区高三数学二模（文科）第6页共8页OQPBACD所以乙种棉花的平均亩产量更稳定．……………………8分（Ⅱ）从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地的所有选法有(95，102)，(95，105)，(95，107)，(95，111)，(102，105)，(102，107)，(102，111)，(105，107)，(105，111)，(107，111)共10种，设“亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量”为事件A，包括的基本事件为(105，107)，(105，111)，(107，111)共3种．所以3()=10PA．……………………13分答：两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率为310．17．证明：（Ⅰ）连结AC，交BD于O．因为底面ABCD为菱形，所以O为AC中点．因为Q是PA的中点，所以OQ//PC，因为OQ平面BDQ，PC平面BDQ，所以PC//平面BDQ．……………………5分（Ⅱ）因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，O为BD中点．因为PB=PD，所以PO⊥BD．因为PO∩BD=O，所以BD⊥平面PAC．因为CQ平面PAC，所以BD⊥CQ．……………………10分（Ⅲ）因为PA=PC，所以△PAC为等腰三角形．因为O为AC中点，所以PO⊥AC．由（Ⅱ）知PO⊥BD，且AC∩BD=O，所以PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P-ABCD的高．因为四边形是边长为2的菱形，且∠ABC=60º，所以BO=3，所以PO=6．所以1236223PABCDV，即22PABCDV．……………………14分18．解：（Ⅰ）因为35232SaSa所以112123()43()adadada，即122223adaa．因为252aa，0d，所以20a．丰台区高三数学二模（文科）第7页共8页所以112ad．所以21nan．……………………6分（Ⅱ）因为*12()nannbbnN，所以1212abb，2322abb，……112nannbb．相加得1121222naaanbb=1323222n=12(41)3n……………………13分即21213nnb．19．解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为22221xyab．因为焦距为22，所以c=2．当点P在短轴的顶点时，P到F1F2的距离最大，所以此时△PF1F2的面积最大，所以121222PFFScb，所以2b．因为2224abc，所以24a，椭圆方程为22142xy．……………………5分（Ⅱ）依题意，直线l的斜率存在，可设为k，则直线l：(1)ykx．设11(,)Axy，22(,)Bxy，联立22240(1)xyykx消y得2222(21)4240kxkxk．显然0，且2122421kxxk，21222421kxxk．丰台区高三数学二模（文科）第8页共8页因为直线l交y轴于点N，所以(0,)Nk．所以11(1,)AMxy，11(,)NAxky，且1NAAM所以1111xx，同理2221xx．所以12121212121212()28111()3xxxxxxxxxxxx.即12为定值是83.……………………14分20．解：（Ⅰ）因为()fx与()gx的图象在x轴上有公共点(1，0)，所以(1)0g，即0ab．又因为1()fxx，2()bgxax，由题意(1)(1)1fg，所以12a，12b．……………………4分（Ⅱ）设11()()()ln()22Fxfxgxxxx，则2211111()(1)0222Fxxxx．所以()Fx在1x时单调递减．由(1)0F可得当1x时，()0Fx即()()fxgx．……………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）得，11()ln2xxx(1)x．令1kxk，则111111111ln()(1)(1)()212121kkkkkkkkkk，所以111ln(1)ln()21kkkk，1,2,3...,kn．将上述n个不等式依次相加得11111ln(1)(...)2232(1)nnn，所以1111...ln(1)ln(1)232(1)nnnnn．……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）