北京理工大学2009级数值分析试题及答案

1课程编号：12000044北京理工大学2010-2011学年第一学期2009级计算机学院《数值分析》期末试卷A卷班级学号姓名成绩注意：①答题方式为闭卷。②可以使用计算器。请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。一、填空题（20×2′）1.设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有位有效数字。2.设32,1223XA，‖A‖∞＝_______，‖X‖∞＝_______，‖AX‖∞≤_______(注意：不计算‖AX‖∞的值)。3.非线性方程f(x)=0的迭代函数x=(x)在有解区间满足，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。4.若f(x)=x7－x3＋1，则f[20,21,22,23,24,25,26,27]=，f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]=。5.区间[a,b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到阶的连续导数。6.当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的（填写前插公式、后插公式或中心差分公式），若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的（填写前插公式、后插公式或中心差分公式）；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的。7.拉格朗日插值公式中f(xi)的系数ai(x)的特点是：niixa0)(；所以当系数ai(x)满足，计算时不会放大f(xi)的误差。8.要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取位有效数字。9.对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是。10.由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是。x00.511.522.52y=f(x)-2-1.75-10.2524.2511.牛顿下山法的下山条件为。12.线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri(i=0,1,…,n)来实现的，其中的残差ri＝，(i=0,1,…,n)。13.在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为。14.使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、、迭代计算。二、判断题(在题目后的()中填上“√”或“×”。)（10×1′）1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。()2、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。()3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式),...,2,1(1niaanijjijii则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。()4、样条插值一种分段插值。()5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。()6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。()7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。()8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。()9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。()10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。()三、计算题（5×8′+10′）1、用列主元高斯消元法解线性方程组。(计算时小数点后保留5位)。112123454321321321xxxxxxxxx32、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。xi012f(xi)1-13f’(xi)153、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。4、设y=sinx，当取x0=1.74,x1=1.76,x2=1.78建立拉格朗日插值公式计算x=1.75的函数值时，函数值y0,y1,y2应取几位小数?5、已知单调连续函数y=f(x)的如下数据：xi-0.110.001.501.80f(xi)-1.23-0.101.171.58若用插值法计算，x约为多少时f(x)=1。(计算时小数点后保留5位)。6、应用牛顿法于方程，导出求a的迭代公式，并用此公式求115的值。（计算时小数点后保留4位)。33846512321432431421xxxxxxxxxxxx01)(2xaxf4课程编号：12000044北京理工大学2009-2010学年第二学期2009级计算机学院《数值分析》期末试卷A卷班级学号姓名成绩注意：①答题方式为闭卷。②可以使用计算器。请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。四、填空题（20×2′）15.设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有2位有效数字。16.设32,1223XA，‖A‖∞＝___5____，‖X‖∞＝__3_____，‖AX‖∞≤_15___。17.非线性方程f(x)=0的迭代函数x=(x)在有解区间满足|’(x)|1，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。18.若f(x)=x7－x3＋1，则f[20,21,22,23,24,25,26,27]=1，f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]=0。19.区间[a,b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到2阶的连续导数。20.当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。21.拉格朗日插值公式中f(xi)的系数ai(x)的特点是：niixa0)(1；所以当系数ai(x)满足ai(x)1，计算时不会放大f(xi)的误差。22.要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取4位有效数字。23.对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是(B)1。24.由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是5。x00.511.522.55y=f(x)-2-1.75-10.2524.2525.牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)||f(xn)|。26.线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri(i=0,1,…,n)来实现的，其中的残差ri＝(bi-ai1x1-ai2x2-…-ainxn)/aii，(i=0,1,…,n)。27.在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为f(x0)f”(x0)0。28.使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。五、判断题（10×1′）10、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。(×)11、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。()12、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式),...,2,1(1niaanijjijii则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。(×)13、样条插值一种分段插值。()14、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。()15、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。()16、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。(×)17、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。(×)18、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。6()10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。(×)六、计算题（5×10′）1、用列主元高斯消元法解线性方程组。112123454321321321xxxxxxxxx解答：（1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行：112412345321321321xxxxxxxxxL21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4方程化为：8.152.06.26.10.42.0123453232321xxxxxxx（-0.2,2.6）最大元在第三行，交换第二与第三行：6.10.42.08.152.06.2123453232321xxxxxxxL32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为：38466.00.384628.152.06.212345332321xxxxxx7回代得：00010.199999.500005.3321xxx2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。xi012f(xi)1-13f’(xi)15解答：做差商表xiF(xi)F[xi,xi+1]F[xi.xi+1.xi+2]F[xi,xi+1,xi+2,xi+3]F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4]011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)()/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。解答：交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：33846512321432431421xxxxxxxxxxxx65843312431432321421xxxxxxxxxxxx8雅克比迭代公式：4、设y=sinx，当取x0=1.74,x1=1.76,x2=1.78建立拉格朗日插值公式计算x=1.75的函数值时，函数值y0,y1,y2应取几位小数?5、已知单调连续函数y=f(x)的如下数据：xi-0.110.001.501.80f(xi)-1.23-0.101.171.58若用插值法计算，x约为多少时f(x)=1。(计算时小数点后保留5位)。6、应用牛顿法于方程，导出求a的迭代公式，并用此公式求115的值。（计算时小数点后保留4位)。01)(2xaxf65843312431432321421xxxxxxxxxxxx