北京邮电大学《数字信号处理》习题及答案

第1页共20页答案参见我的新浪博客：习题1.给定f(t)=rect(t+2)+rect(t-2),画出下列函数的图形。(a)f(t)(b)g(t)=f(t-1)(c)h(t)=f(t)u(t)(d)f(t/2)2.设f(t)是某一函数，a,t0,T为实常数，证明：(a))()()()(000ttttfaattf(b))()(1)()(000atafaattfttt(c))()()()(000nTtnTfTTtcombtftttn3.(a)如f(t)F(Ω)，证明：eeetjtyjtjtfdyyFF)(2)()()((b)用（a）的结果，证明频域卷积定理)()(21)()(2121FFfftt4.求下图中f(t)脉冲的傅氏变换。5.证明(a))()()(aHH(b))()()(00nHnHnn6.设etatf)(，证明脉冲序列)()(nTtnTfn的傅氏变换等于T/4T第2页共20页答案参见我的新浪博客：7.(a)证明TnnnjnTe2),(1000(b)若f(t)F(Ω)，证明)()(0nFnTfTnnjnTe习题1.下列系统中，y(n)表示输出，x(n)表示输入，试确定输入输出关系是否线性？是否非移变？(a)y(n)=2x(n)+3(b)y(n)=x2(n)(c)nmmxny)()(2.确定下列系统是否因果的？是否稳定的？(a)y(n)=g(n)x(n),g(n)有界(b)nknkxny0)()(nn0(c)y(n)=x(n-n0)(d)x(n)=anu(n),h(n)=u(n)(e)x(n)=anu(n),h(n)=(1/2)nu(n)3.x(n)为输入序列，h(n)为系统的单位取样响应序列，确定输出序列y(n)，(a)如图p2.1(a)所示(b)如图p2.1(b)所示(c)如图p2.1(c)所示0123n2111-1012nx(n)h(n)(a)第3页共20页答案参见我的新浪博客：直接计算卷积和，求序列0)(annh0)(0nnxn的卷积y(n)=x(n)*h(n)，并用公式表示它。5.讨论具有下列单位取样响应的线性时域离散非移变系统。unnnh21)(其中1j确定其对如下输入序列的稳态响应（n足够大时的响应）。x(n)=n{cosnπ}u(n)其它-1012n122111-2-1012nx(n)h(n)(b)012n-101n-121x(n)h(n)(c)20≤aN其它0≤aN第4页共20页答案参见我的新浪博客：试确定下列序列的傅氏变换。(a)x(n)=0.5δ(n+1)+0.5δ(n-1)(b)x(n)=anu(n)0a1(c)x(n)=u(n+3)-u(n-4)7.令x(n)和X(ejw)表示一个序列及其变换，又假设x(n)为实函数和n0时，x(n)=0，利用X(ejw)求下面各序列的变换。(a)kx(n)k为任意常数(b)x(n-n0)n0为实整数(c)g(n)=x(2n)(d)0)2()(nxng8.试确定LSI系统的频率响应H(ejw)及此系统函数倒数1/H(ejw)的单位取样响应h′(n)，若此系统的单位取样响应)()(21nunhn并证明，h(n)*h′(n)=δ(n)9.研究如图P2.2所示方框图组成的系统，其中g(x)=ejπax2称为线性调频信号，试证明：输出是输入函数的傅氏变换（标尺有变化），当输入为门函数时，输出是SinC函数。图P2.210.画出下列z变换的零极点图，指出收敛域。(a))()(21nunn(b))(31nunn为偶数n为奇数h(x)=g(x)f(x)F(ax)g*(x)g*(x)第5页共20页答案参见我的新浪博客：(c))(31)(21nunnun11.求下列z变换的所有可能收敛区间的反变换。2)()1(2zzzXz12.若Xzz()11(a)若|z|1，求X(n)。(b)若|z|1，求X(n)。13.有一离散系统如图P2.3所示，若0n0nnXnn2131)(0n0nnhn0)(21求y(n)。图P2.314.(a)试证明，若|a|1及x(n)=a|n|，则azazzXaza)1()1()(222(b)若xa(t)=e-a|t|及x(n)=xa(nT)X(z)，求X(ejΩT)。15.若x(t)的傅氏变换为X(jΩ)，且x(t)在|Ω|π/T内频带受限，试证明：dzzjXnTXezTjnn)(21)(016.设兔子的寿命为10年且雌雄均等，若初始有两只兔子，每年新生兔子是前一年的两倍，求第n年兔子的总数。h(n)x(n)y(n)第6页共20页答案参见我的新浪博客：已知X(z)=ez+e1/2(z≠0)，求x(n)。18.试确定F(z)=Z*是否代表某个序列的z变换，阐述理由。19.令x(n)是一因果序列，即n0时，x(n)=0，又设x(n)≠0，试证明在z=∞处X(z)没有极点和零点。20.研究一线性非移变系统，该系统的输入和输出满足差分方程)1(21)()(nynxny从下列各项中选取二个满足上系统的单位取样函数。(a))(21nun(b))(2nun(c))(21nun(d))(21nun(e))1(21nun(f))1(2nun(g))(21nun(h))1(21nun(i))1(21211nun(j))1(221nun21.试利用x(n)的z变换求n2x(n)的z变换。习题1、计算下列有限长序列x(n)的DFT，假设长度为N,(a)x(n)=δ(n)(b)x(n)=δ(n-n0)0n0N(c)x(n)=an0《n《N-12、画出x1(n)和x2(n)的波形x1(n)=x((n-2))4R4(n)x2(n)=x((-2))4R4(n)x(n)的波形如图P3.1所示。0123n图P3.1x(n)第7页共20页答案参见我的新浪博客：、画出如图P3.2所示的两个序列的6点圆周卷积。图P3.24、如果)(~nx是一个周期为N的周期序列，则它也是周期为2N的周期序列。把)(~nx看作周期为N的周期序列，令)(~1kx表示其DFS，再把)(~nx看作为2N的周期序列，再令)(~2kx表示其DFS，试利用)(~1kx确定)(~2kx。5、若)()(kXnxDFT，求证：))(()(kxNNnXDFT6、已知序列1a0nunxan),()(，对其Z变换在单位园上N等分取样，采样值为WzXkXKNz)()(，求有限序列IDFT[X(k)]。7、设)(~nX是周期为N的周期序列，通过系统H(z)以后，求证输出序列)(~ny为WWnKNNKKNkXHNny)(~)(1)(~108、研究两个周期序列)(~nx和)(~ny。)(~nx的周期为N，)(~ny的周期为M。序列)(~nw定义为)()(~)(~nynxnw（a）试证明)(~nw是周期性的，周期为NM。（b）令)(~nx的DFS为)(~kX，)(~ny的DFS为)(~kY，试用)(~kX和)(~kY求)(~kW。9、x(n)表示长度为N的有限长序列，试证明))(())((nNxnxNN10、令X(k)表示N点序列x(n)的N点DFT，试证明(a)如果x(n)满足关系式x(n)=-x(N-1-n)，则X(0)=0(b)当N为偶数时，如果x(n)=x(N-1-n)，则0)2(Nx11、令X(k)表示N点序列x(n)的N点DFT，X(k)本身也是一个N点序列。如果计算X(k)的DFT得到一序列x1(n)，试用x(n)求x1(n)。012345nx1(n)012nx1(n)1第8页共20页答案参见我的新浪博客：、长度为8的有限序列的8点DFT为X(k)，如图P3.3所示。长度为16的一个新序列定义为为奇数为偶数nnnxny0)2()(试从图P3.3(b)的几个图中选出相当于y(n)的16点DFT的略图。图P3.313、令有一序列x(n)，其长度有限，Z变换为X(z)。而x1(n)表示长为N的有限长序列，其N点DFT为X1(k)，如果X(z)和X1(k)有1N0,1,kWzXkkNzX,)()(1式中eWkNkN2，试求x(n)和x1(n)之间的关系。14、研究两个n0时等于0的有限长序列x(n)和y(n)，且x(n)=0n》8时第9页共20页答案参见我的新浪博客：(n)=0n》20时将每一序列的20点DFT相乘，然后计算IDFTy(n)，试指出Y(n)的哪些点相当于x(n)与y(n)线性卷积中的点。15、如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需100us，每次复加20us，今用来计算N=1024点的DFT，问用直接运算需要多少时间？用FFT运算需要多少时间？16、设一序列x(n)的长度N是2的整数方，它的FFT算法，还可通过下面另一种时间抽选法表述来实现。（1）将x(n)分解成两个N/2点的序列计算X(k)，其一是由x(n)的偶数点组成，另一是由x(n)的奇数点组成。)()()12()2()(12021202kHkGrxrxkX其中12,,1,0)2()(1202Nk,rxkGNrrkNW12,,1,0)12()(1202Nk,rxkHNrrkNWG(k)和H(k)分别是x(n)的偶数点和奇数点的DFT。（2）G(k)和H(k)是周期为N/2的周期序列，它满足下列关系)())()2(kH2NH(k,kGNkG（3）X(k)可表达为前后两部分2N,0,1,k,kHkGkXWkN)()()(2N,0,1,k,kHkGkNXWkN)()()2(证明上述结论的正确性，并据此画出8点FFT时间抽选法流图。17、画出一个N=16点的时间抽选法FFT信号流图。设输入序列为x(n)，其为倒序，输出序列为X(k)，其为正序。18、证明x(n)的IDFT有以下算法)]}([{*1)]([)(*kXDFTNkXIDFTnx19、设x(n)是一个M点0《n《M-1的有限长序列，其Z变换为10)()(MnnZnx