北京邮电大学大学物理学习题答案4

习题四4-1符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动：(1)拍皮球时球的运动；(2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很短)．题4-1图解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用．或者说，若一个系统的运动微分方程能用0dd222t描述时，其所作的运动就是谐振动．(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力．(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为sinmg，如题4-1图(b)所示．题中所述，S＜＜R，故RS→0，所以回复力为mg.式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有mgtmR22dd令Rg2，则有0dd222t4-2劲度系数为1k和2k的两根弹簧，与质量为m的小球按题4-2图所示的两种方式连接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．题4-2图解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有21FFF，设串联弹簧的等效倔强系数为串K等效位移为x，则有111xkFxkF串222xkF又有21xxx2211kFkFkFx串所以串联弹簧的等效倔强系数为2121kkkkk串即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为)/(2121kkkkk的弹簧振子系统，故小球作谐振动．其振动周期为2121)(222kkkkmkmT串(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有21FFF，即21xxx，设并联弹簧的倔强系数为并k，则有2211xkxkxk并故21kkk并同上理，其振动周期为212kkmT4-3如题4-3图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为，弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R．先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．题4-3图解：分别以物体m和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有221ddsintxmTmg①IRTRT21②Rtx22dd)(02xxkT③式中kmgx/sin0，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有kxRtxRImR22dd)(令ImRkR222则有0dd222xtx故知该系统是作简谐振动，其振动周期为)/2(22222KRImkRImRT4-4质量为kg10103的小球与轻弹簧组成的系统，按)SI()328cos(1.0x的规律作谐振动，求：(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等?(3)s52t与s11t两个时刻的位相差；解：(1)设谐振动的标准方程为)cos(0tAx，则知：3/2,s412,8,m1.00TA又8.0Avm1sm51.21sm2.632Aam2sm(2)N63.0mmaFJ1016.32122mmvEJ1058.1212EEEkp当pkEE时，有pEE2，即)21(212122kAkx∴m20222Ax(3)32)15(8)(12tt4-5一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果0t时质点的状态分别是：(1)Ax0；(2)过平衡位置向正向运动；(3)过2Ax处向负向运动；(4)过2Ax处向正向运动．试求出相应的初位相，并写出振动方程．解：因为0000sincosAvAx将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有)2cos(1tTAx)232cos(232tTAx)32cos(33tTAx)452cos(454tTAx4-6一质量为kg10103的物体作谐振动，振幅为cm24，周期为s0.4，当0t时位移为cm24．求：(1)s5.0t时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向；(2)由起始位置运动到cm12x处所需的最短时间；(3)在cm12x处物体的总能量．解：由题已知s0.4,m10242TA∴1srad5.02T又，0t时，0,00Ax故振动方程为m)5.0cos(10242tx(1)将s5.0t代入得0.17mm)5.0cos(102425.0txN102.417.0)2(10103232xmmaF方向指向坐标原点，即沿x轴负向．(2)由题知，0t时，00，tt时3,0,20tvAx故且∴s322/3t(3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为J101.7)24.0()2(10102121214223222AmkAE4-7有一轻弹簧，下面悬挂质量为g0.1的物体时，伸长为cm9.4．用这个弹簧和一个质量为g0.8的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开cm0.1后，给予向上的初速度10scm0.5v，求振动周期和振动表达式．解：12311mN2.0109.48.9100.1xgmk而0t时，-12020sm100.5m,100.1vx(设向上为正)又s26.12,51082.03Tmk即m102)5100.5()100.1()(222222020vxA45,15100.1100.5tan022000即xv∴m)455cos(1022tx4-8图为两个谐振动的tx曲线，试分别写出其谐振动方程．题4-8图解：由题4-8图(a)，∵0t时，s2,cm10,,23,0,0000TAvx又即1srad2T故m)23cos(1.0txa由题4-8图(b)∵0t时，35,0,2000vAx01t时，22,0,0111vx又253511∴65故mtxb)3565cos(1.04-9一轻弹簧的倔强系数为k，其下端悬有一质量为M的盘子．现有一质量为m的物体从离盘底h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动．(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同?(2)此时的振动振幅多大?(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程．解：(1)空盘的振动周期为kM2，落下重物后振动周期为kmM2，即增大．(2)按(3)所设坐标原点及计时起点，0t时，则kmgx0．碰撞时，以Mm,为一系统动量守恒，即0)(2vMmghm则有Mmghmv20于是gMmkhkmgMmghmkmgvxA)(21))(2()()(2222020（3）gmMkhxv)(2tan000(第三象限)，所以振动方程为gmMkhtMmkgMmkhkmgx)(2arctancos)(214-10有一单摆，摆长m0.1l，摆球质量kg10103m，当摆球处在平衡位置时，若给小球一水平向右的冲量14smkg100.1tF，取打击时刻为计时起点)0(t，求振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程．解：由动量定理，有0mvtF∴1-34sm01.0100.1100.1mtFv按题设计时起点，并设向右为x轴正向，则知0t时，100sm01.0,0vx＞0∴2/30又1srad13.30.18.9lg∴m102.313.301.0)(302020vvxA故其角振幅rad102.33lA小球的振动方程为rad)2313.3cos(102.33t4-11有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为m20.0，位相与第一振动的位相差为6，已知第一振动的振幅为m173.0，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差．题4-11图解：由题意可做出旋转矢量图如下．由图知01.02/32.0173.02)2.0()173.0(30cos222122122AAAAA∴m1.02A设角为OAA1，则cos22122212AAAAA即01.0173.02)02.0()1.0()173.0(2cos2222122221AAAAA即2，这说明，1A与2A间夹角为2，即二振动的位相差为2.4-12试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：(1)cm)373cos(5cm)33cos(521txtx(2)cm)343cos(5cm)33cos(521txtx解：(1)∵,233712∴合振幅cm1021AAA(2)∵,334∴合振幅0A4-13一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为m)652cos(3.0m)62cos(4.021txtx试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。解：∵)65(6∴m1.021AAA合3365cos3.06cos4.065sin3.06sin4.0coscossinsintan22122211AAAA∴6其振动方程为m)62cos(1.0tx(作图法略)*4-14如题4-14图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知x方向的振动方程为cm2cos6tx，求y方向的振动方程．题4-14图解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为2或23；又，轨道是按顺时针方向旋转，故知两分振动位相差为2.所以y方向的振动方程为cm)22cos(12ty