北大数学基础之研究生考试

版权属于北京大学计算机系，年轻人录入。本文档不得用于商业用途。[e-mail]启用前机密北京大学2005年硕士生研究生入学考试试题考试科目：计算机数学基础考试时间：2005年1月23日上午招生专业：计算机科学与技术研究方向：说明：答题一律写在答题纸上（含填空题，选择题等客观题），写在此页上无效一．高等数学部分（共70分）1．（8分）求limnnn。2．（10分）设22arctanlnyxyx，求'y，''y。3．（每小题8分，共16分）求下列不定积分32(1)1xxdx(2)coslnxxdx4．（8分）求211|cos(ln)|neddxdxx，其中n为自然数。5．（8分）若02，试证：22tantancoscos6．（10分）求21nnnx。7．（10分）设曲线y=f(x)是0x上的非负连续函数，V（t）表示由y=f(x)，x=0，x=t（t0）和y=0所围成的图形绕直线x=t旋转而成的旋转体体积。试证明：22()2()dvtftdt。二．离散数学部分（共80分）1．（10分）叙述并证明集合运算的吸收律（其中一条即可）。2．（10分）在二个元素的集合上，有多少种不同的二元关系？写出其中等价关系对应的划分，画出其中偏序关系的哈斯图，画出其中全函数的关系圈。3．（10分）在一群人中，说同一方言的人可直接对话，不说同一方言的人也可能通过其他人的翻译来间接对话。下列两个条件等价吗？为什么？条件一：这群人中任何两人都能直接或间接对话。条件二：无论怎样把这群人分成两组，总能在两组中各找出一人，这二人能直接对话。4．（10分）地球上是否存在这样五个国家，其中每个国家都是一块连通的区域，任何两个国家之间至少有一段公共边界？为什么？5．（10分）一只老鼠吃333立方体的奶酪。方法是借助于打洞通过所有27个111子立方体。如果它在一个角上开始，然后依次走向未吃的子立方体。问它吃完时能否在立方体的中心？为什么？6．（10分）判断下列集合A和二元运算*是否构成代数系统，其中Z，R分别代表整数和实数集合。如果构成代数系统V，说明*运算是否满足交换律，结合律，幂等律。如果V中有版权属于北京大学计算机系，年轻人录入。本文档不得用于商业用途。[e-mail]单位元，求出这个单位元并找出V中所有可逆元素的逆元。（1）,,,*AZxyAxyxyxy（2）,,,*||ARxyAxyxy（3）{|}AnZnkkZ，n为正整数，*为普通乘法（4）({,}),,,*,APabxyAxyxy为集合的对称差（5）A是集合B上的所有等价关系的集合，,,*xyAxyxy7．（10分）12,GZ是模12整数加群。写出G的所有子群；画出子群格(),LG的哈斯图；说明该格是否为分配格，模格，有补格及布尔代数。8．（10分）设12:fGG是群同态映射，且G2为交换群，N是G1的子群，且kerfN，证明N是G1的正规子群。