北大随机信号分析基础课件窄带高斯过程的包络和相位的分析

4.3窄带高斯过程的包络和相位的分析在本节的讨论中，假定窄带正态过程)(tX的均值为零，方差为2，功率谱相对于中心频率0是对称的。4.3.1窄带高斯过程的包络和相位的一维概率分布已知窄带过程的一般表达式为ttAttAtttAtXsc000sin)(cos)()](cos[)()(由上节的讨论可知，)(,)(tAtAsc可以看作)(ˆ)(tXtX和经过线性变换后的结果，即ttXttXtAttXttXtAsc0000cos)(ˆsin)()(sin)(ˆcos)()(因此，)(tX若为高斯过程，则)(,)(tAtAsc也应为高斯过程，并且都具有零均值和方差2。又根据上节的讨论，)(,)(tAtAsc在同一时刻是互不相关的，又因二者是高斯过程，根据高斯过程的性质，它们在同一时刻也是互相独立的。设stctAA,分别表示)(,)(tAtAsc在t时刻的取值，则其联合概率密度为]2exp[21)()(),(2222stctstActAstctAAaaafafaafscsc又)(sin)()()(cos)()(ttAtAttAtAsc设ttA,分别为包络)(tA和相位)(t在t时刻的取值，则)(tA和)(t的联合概率密度为),(),(stctAAttAaafJafsc由于ttstttttctAAAAAsin20,0cos可得20,0]2exp[2),(),(),(222ttttstctAAtstctAAttAaaaaafaaafJafscsc由此得包络的一维概率密度为0)2exp(),()(22220ttttttAtAaaadafaf为瑞利分布。相位的一维概率密度为2021),()(0ttttAtdaaff为均匀分布。从上述分析可以看出)()(),(ttAttAfafaf这说明，在同一时刻窄带高斯过程的包络和相位是互相独立的随机变量。4.3.2窄带高斯过程包络和相位的二维概率分布求包络和相位的二维概率密度的步骤如下：先求出四维概率密度),,,(2211scscAAaaaafsc，然后转换为),,,(2211aafA，最后再推导出),(21aafA和),(21f。4.3.3窄带高斯过程的包络平方的分布若窄带高斯过程通过平方律检波器，其输出是包络的平方，即为0,)()(2AUtAtU根据前面的讨论，可知窄带高斯过程的包络服从瑞利分布，即0)2exp()(222ttttAaaaaf设tU表示)(tU在t时刻状态，通过函数变换可求得tu的概率密度。已知ttUA，则tU的概率密度为0)2exp(21)()()(22tttAtttAtUuuufdudaafJuft上式表明，窄带高斯过程的包络平方为指数分布。