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三角形四边形的有关计算证明一、考点，热点分析：(1)了解多边形的内角和与外角和公式，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系．了解四边形的不稳定性；(2)掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，四边形是平行四边形的条件（一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形）．了解中心对称图形及其基本性质；(3)掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件；(4)了解等腰梯形同一底上的两底角相等，两条对角线相等的性质，以及同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形的结论5．进一步认识三角形的有关概念，了解三边之间的关系以及三角形的内角和，了解三角形的稳定性。6.了解图形的全等，能利用全等图形进行简单的图案设计。7.经历探索三角形全等条件的过程，掌握两个三角形全等的条件，能应用三角形的全等解决一些实际问题。8.在分别给出两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形（会写已知、求作和作法，不要求证明）。二、知识点归纳：｛｝平行四边形的性质、判别方法菱形、矩形、正方形的性质、判别方法中心对称图形图形的旋转、平移等腰梯形的性质和判别方法特殊的四边形一般多边形的内角和（n－2）·180°，外角和为360°平面图形的密铺一般的多边形三角形三角形的概念及表示三角形的基本要素及基本性质三边的关系,三内角的关系三角形的高,中线,角平分线三角形全等的表示及特征三角形的全等探索三角形全等的条件三角形全等的应用三、【例题经典】三角形内角和定理的证明例1．如图所示，把图（1）中的∠1撕下来，拼成如图（2）所示的图形，从中你能得到什么结论？请你证明你所得到的结论．点证：此题是让学生动手拼接，把∠1移至∠2，已知a∥b，根据两直线平行，同旁内角互补，得到“三角形三内角的和等于180°”的结论，由于此题剪拼的方法很多，证明的方法也很多，注意对学生的引导．探索三角形全等的条件例2．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论是_________．解析：由∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF可判定△AEB≌△AFC，从而得∠EAB=∠FAC．∴∠1=∠2，又可证出△AEM≌△AFN．依此类推得①、②、③点评：注意已知条件与隐含条件相结合．全等三角形的应用例3．（2006年重庆市）如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC．求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．【解析】（1）因为AE∥BC，所以∠A=∠B．又因AD=BF，所以AF=AD+DF=BF+FD=BD，又因AE=BC，所以△AEF≌△BCD．（2）因为△AEF≌△BCD，所以∠EFA=∠CDB，所以EF∥CD．【点评】根据平行寻求全等的条件，由三角形全等的性质证两直线平行．利用平行四边形的性质求面积例4．（2006年河南省）如图，在ABCD中，E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S△ABF=SABCD．【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC．∵E是DC的中点，∴DE=CE．∴△AED≌△FEC．∴S△AED=S△FEC．∴S△ABF=S四边形ABCE+S△CEF=S四边形ABCE+S△AED=SABCD会根据条件选择适当方法判定平行四边形例5．（2005年山东省）如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）A．OE=OFB．DE=BFC．∠ADE=∠CBFD．∠ABE=∠CDF【分析】虽然判别平行四边形可从“边、角、对角线”三个角度来考虑，但此例图中已有对角线，所以最适当方法应是“对角线互相平分的四边形为平行四边形”．能利用平行四边形的性质进行计算例6．（2005年西宁市）如图，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC+BD=_______．【分析】本例解题依据是：平行四边形的对角线互相平分，先求出AO+BO=9，再求得AC+BD=18．四、【考点精练】（一）、基础训练1．如图1所示，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=_______．（1）（2）（3）2．如图2，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么D点到直线AB的距离是_______cm．3．如图3，AD、AF分别是△ABC的高和角平分线，已知∠B=36°，∠C=76°，则∠DAF=______度．4．（2006年烟台市）如图4，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为______．（4）（5）（6）5．如图5，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有________对．6．（2006年河南省）如图6，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是________．7．以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，4cmB．8cm，6cm，4cmC．12cm，5cm，6cmD．2cm，3cm，6cm8．（2006年绍兴市）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（）A．2对B．3对C．4对D．6对（7）（8）（9）9．（2006年德阳市）已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似．要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边．那么另外两边的长度（单位：cm）分别为（）A．10，25B．10，36或12，36C．12，36D．10，25或12，3610．（2005年黄冈市）如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=12S△ABC；④EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（）A．①④B．①②C．①②③D．①②③④11．如图1，该多边形的内角和为_______度．(1)(2)(3)12．如图2，E、F是ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：__________，使四边形AECF是平行四边形．13．（2006年长沙市）如图3，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是__________（添加一个条件即可）．14．（2006年扬州市）ABCD的对角线交于点O，下列结论错误的是（）A．ABCD是中心对称图形B．△AOB≌△CODC．△AOD≌△BOCD．△AOB与△BOC的面积相等15．（2005年天津市）如图4，在ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（）A．7个B．8个C．9个D．11个16．（2006年广东省）如图5所示，在ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子中一定成立的是（）A．AC⊥BDB．OA=OCC．AC=BDD．AO=OD(4)(5)(6)17．（2006年淄博市）如图6，在△MBN中，BM=6，点A，C，D分别在MB，NB，MN上，四边形ABCD为平行四边形，∠NDC=∠MDA，则ABCD的周长是（）A．24B．18C．16D．1218．（2006年怀化市）如图7，AB=AC，AD⊥BC，AD=BC，若用剪刀沿AD剪开，则最多能拼出不同形状的四边形个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个19．如图8，ABCD中，点E、F分别是AD、AB的中点，EF交AC于点G，那么AG：GC的值为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．2：3(7)(8)(9)20．（2006年南通市）如图9，ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为（）A．6mB．12cmC．4cmD．8cm（二）、能力提升21．已知：如图，点C、D在线段AB上，PC=PD．请你添加一个．．条件，使图中存在全等三角形，并给予证明．所添条件为________．你得到的一对全等三角形是△_______≌△_____．22．已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连结AE、CD．（1）求证：△AGE≌△DAC；（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连结AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．23．（2005年大连市）如图，AB∥CD，AB=CD，点B、E、F、D在一条直线上，∠A=∠C，求证：AE=CF．（说明：证明过程中要写出每步的证明依据）．24．（2006年内江市）如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB=AC②AD=AE③∠1=∠2④BD=CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）25．如图，在ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE=CF，求证：BE=DF．26．（2006年德阳市）如图，已知点M、N分别是ABCD的边AB、DC的中点，求证：∠DAN=∠BCM．27．（2006年临安市）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．28．如图，DB∥AC，且DB=12AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．（三）、应用与探究29．（2006年浙江省）如图，△ABC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），使AC=BD，并给出证明．你添加的条件是：__________．30．（2006年江阴市）已知平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上．（1）若AB=10，AB与CD间距离为8，AE=EB，BF=FC，求△DEF的面积．（2）若△ADE、△BEF、△CDF的面积分别为5、3、4，求△DEF的面积．答案：考点精练1．95°2．33．20°4．60°5．4对6．57．B8．B9．D10．C11．答案不唯一，比如：∠A=∠B，△PAC≌△PBD12．（1）证略（2）连接AF，则△AEF是等边三角形．证略13．∵AB∥CD，AB=CD，∠A=∠C，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE=CF（全等三角形对应边相等）14．①②③为题设④为结论，证略15．∠C=∠D，证略．例题经典例2．B考点精练1．9002．答案不唯一，如BE=DF等3．答案不唯一，如AB=CD等4．D5．C6．C7．D8．D9．B10．D11．证△ABE≌△CDF（SAS），即可得到BE=DF12．证△BCM≌△DAN（SAS），即可得∠DAN=∠BCM13．（1）根据（SAS）证△ADF≌△CBE（2）连接BF、DE、DB，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形．证四边形BEDF是平行四边形即可14．证四边形BCED是平行四边形即可15．（1）S△DEF=30（2）S△DEF=68