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1578225461867第1页共6页4.3.3余角和补角【知能点分类训练】知能点1互为余角、互为补角的概念与性质1．已知：如图1所示，AB是直线，∠BOC=∠AOC=90°，OD，OE是射线，则图中有_____对互余的角，______对互补的角．(1)(2)(2)2．已知β为α角的补角，γ为α的余角，则β-γ=_______．3．已知互余的两个角的差是20°，则这两个角的度数分别为______和_____．4．如图2所示，已知∠1∠2，那么∠2与12（∠1-∠2）之间的关系是（）．A．互补B．互余C．和为45°D．和为22.5°5．一个角是80.39°，则其余角的补角是_______（用度、分、秒表示）6．在下列说法中，正确的是（）．A．一个锐角的余角比这个角大;B．一个锐角的余角比这个角小C．一个锐角的补角比这个角大;D．一个锐角的补角比这个角小7．（1）若一个角的余角与它的补角的和为210°，则这个角等于______．（2）若一个角的补角与这个角的余角的度数之比是3：1，则这个角等于_____．8．若∠α和∠β互为余角，则∠α和∠β的补角之和是（）．A．90°B．180°C．270°D．不能确定9．一个x°锐角的补角比它的余角（）．A．大90°B．小90°C．大x°D．小x°10．如图3所示，O为直线AB上一点，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，那么图中互余的角共有（）．A．2对B．3对C．4对D．6对知能点2方位角的意义11．甲看乙的方向是北偏东40°，则乙看甲的方向是（）．A．南偏东50°B．南偏东40°C．南偏西40°D．南偏西50°12．如图所示，（1）射线OA表示的方向是________；（2）射线OB表示的方向是________；（3）射线OC表示的方向是________．13．如图所示，OA表示北偏东30°方向的一条射线，依照这条射线，画出表示下列方向的射线．（1）南偏东25°；（2）北偏西60°；（3）东南方向．【综合应用提高】14．一个角的余角比这个角的补角的13还小10°，求这个角的余角及这个角的补角．15．如图所示，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东60°方向有一不明物体，同时，从B地发现这个不明物体在它的北偏东30°方向，试在图中确定这个不明物体的位置．1578225461867第2页共6页16．如图所示，若已知∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，问：（1）∠1与∠3是什么关系？为什么？（2）若要∠2与∠4相等，则∠1与∠4要满足什么关系？为什么？【开放探索创新】17．如图甲所示，∠AOB，∠COD都是直角．（1）试猜想∠AOD与∠COB在数量上是相等，互余，还是互补的关系，你能用推理的方法说明你的猜想是否合理吗？（2）当∠COD绕点O旋转到图乙的位置时，你原来的猜想还成立吗？【中考真题实战】18．（北京海淀）已知∠AOB=40°，OC是∠AOB的平分线，则∠AOC的余角等于_____．19．（湘西）下列命题：①若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角;②若∠A+∠B=180°，则∠A与∠B互为邻补角;③120°的角和60°的角都是补角;④同角的余角相等;⑤由两条射线组成的图形叫做角.正确的命题是（）．A．①③B．②⑤C．③④D．①④20．（益阳）如图所示，小明从A点出发向北偏西40°方向走500米到达B点，小林从A点出发向北偏东20°方向走500米到达C点，下列说法正确的是（）．A．小明在出发地南偏东40°方向500米处;B．小明在出发地南偏东20°方向500米处C．小明在小林南偏西80°方向500米处D．小林在小明北偏东10°方向500米处A卷：基础题一、选择题1．如图1所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，那么下列结论错误的是（）图1A．∠AOC与∠COE互为余角B．∠BOD与∠COE互为余角C．∠COE与∠BOE互为补角D．∠AOC与∠BOD是对顶角2．如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（）3．下列说法正确的是（）A．锐角一定等于它的余角B．钝角大于它的补角C．锐角不小于它的补角D．直角小于它的补角1578225461867第3页共6页4．如图2所示，AO⊥OC，BO⊥DO，则下列结论正确的是（）A．∠1=∠2B．∠2=∠3C．∠1=∠3D．∠1=∠2=∠3图2图3图4图5二、填空题5．已知∠1与∠2互余，且∠1=35°，则∠2的补角的度数为．6．如图3所示，直线a⊥b，垂足为O，L是过点O的直线，∠1=40°，则∠2=．7．如图4所示，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB，若∠COB=135，则∠MOD=．8．三条直线相交于一点，共有对对顶角．9．如图5所示，AB⊥CD于点C，CE⊥CF，则图中共有对互余的角．三、解答题10．如图所示，直线AB，CD相交于点O，∠BOE=90°，若∠COE=55°，求∠BOD的度数．COEDBA11．如图所示，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC=120°.求∠BOD，∠AOE的度数．B卷：提高题一、七彩题1．（一题多解题）如图所示，三条直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOF=3∠FOB，∠AOC=90°，求∠EOC的度数．二、知识交叉题2．（科内交叉题）一个角的补角与这个角的余角的和比平角少10°，求这个角．1578225461867第4页共6页3．（科外交叉题）如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．若∠1=42°，∠2=28°，则光的传播方向改变了______度．三、实际应用题4．如图所示是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中4个角上的阴影部分分别表示4个入球袋．如果一个球按图中所示的方向被击出（假设用足够的力气击出，使球可以经过多次反射），那么该球最后落入哪个球袋？在图上画出被击的球所走路程．四、经典中考题5．（2007，济南，4分）已知：如图所示，AB⊥CD，垂足为点O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（）A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角6．（2008，南通，3分）已知∠A=40°，则∠A的余角等于______．1578225461867第5页共6页答案:1．23（点拨：∠AOE与∠EOC，∠BOD与∠COD互余；∠AOE与∠BOE，∠BOD与∠AOD，∠AOC与∠BOC互补）2．90°（点拨：β+α=180°①，γ+α=90°②，①-②得，β-γ=90°）4．B[点拨：∠2+12（∠1-∠2）=12（∠1+∠2）=12×180°=90°]5．170°23′24″（点拨：一个角的余角的补角比它大90°，即170.39°，再化成度、分、秒的形式）6．C7．（1）30°（2）45°8．C[点拨：∵∠α+∠β=90°，∴（180°-∠α）+（180°-∠β）=360°-（∠α+∠β）=360°-90°=270°]9．A[点拨：补角=180°-x°，余角90°-x°，∴（180°-x°）-（90°-x°）=180°-x°-90°+x°=90°，故选A]10．C（点拨：由∠BON=∠CON，∠AOM=∠COM知∠CON+∠AOM=12×180°=90°，即∠CON和∠AOM互余，∴∠CON与∠COM互余，∠BON与∠COM互余）11．C（点拨：甲看乙和乙看甲的方向相反，但角度不变，故选C）12．（1）北偏西30°（2）南偏西45°（即西南方向）（3）南偏东15°13．略14．解：设这个角为x°，则这个角的余角为（90-x）°，这个角的补角为（180-x）°，根据题意，得90-x=13（180-x）-1090-x=60-13x-1023x=40x=60则90-x=30°，180-x=120°．答：这个角的余角是30°，补角是120°．15．如图所示，图中点C即为不明物的位置．16．（1）∠1=∠3，根据同角的余角相等．（2）∠1与∠4互余，根据同角的余角相等．17．解：（1）∠AOB=∠COD=90°，∵∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°，∴∠AOD和∠BOC互补．（2）∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOD+∠BOC=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，∴∠AOD与∠BOC互补．18．70°（点拨：利用角平分线求出∠AOC=20°，再求余角）19．D20．C.参考答案A卷一、1．C点拨：因为∠COE与∠DOE互为补角，所以C错误，故选C．2．D3．B4．C点拨：因为AO⊥OC，BO⊥DO，所以∠AOC=90°，∠BOD=90°，即∠3+∠2=90°，∠2+∠1=90°，根据同角的余角相等可得∠1=∠3，故选C．二、5．125°点拨：因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°，又因为∠1=35°，所以∠2=90°-35=55°，所以180°-∠2=180°-55°=125°，即∠2的补角的度数是125°．6．50°点拨：由已知可得∠1+∠2=180°-90°=90°，∠2=90°-∠1=90°-40°=50°．7．45°点拨：因为OM⊥AB，所以∠MOD+∠BOD=90°，所以∠MOD=90°-∠BOD，又因为∠BOD=180°-∠COB=180°-135°=45°，所以∠MOD=90°-45°=45°．8．6点拨：如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOD与∠BOC，∠AOE与∠BOF，∠DOE与∠COF，∠DOB与∠COA，∠EOB与∠FOA，∠EOC与∠FOD均分别构成对顶角，共有6对对顶角．1578225461867第6页共6页9．4点拨：由AB⊥CD，可得∠ACE与∠ECD互余，∠DCF与∠FCB互余．由CE⊥CF，可得∠ECD与∠DCF互余，又由于∠ACB为平角，所以∠ACE与∠BCF互余，共有4对．三、10．解：因为∠BOE与∠AOE互补，∠BOE=90°，所以∠AOE=180°-∠BOE=180°-90°=90°，即∠COE+∠COA=90°，又∠COE=55°，所以∠COA=90°-∠COE=90°-55°=35°，因为直线AB，CD相交于点O，所以∠BOD=∠COA=35°．11．解：因为直线AB与CD相交于点O，所以∠BOD=∠AOC=120°，因为∠AOC+∠AOD=180°，所以∠AOD=180°-120°=60°，因为OE平分∠AOD，所以∠AOE=12∠AOD=12×60°=30°．点拨：由∠BOD与∠AOC是对顶角，可得∠BOD的度数．由∠AOC与∠AOD互补，可得∠AOD的度数，又由OE平分∠AOD，可得∠AOE的度数．B卷一、1．解法一：因为∠FOB+∠AOF=180°，∠AOF=3∠FOB（已知），所以∠FOB+3∠FOB=180°（等量代换），所以∠FOB=45°，所以∠AOE=∠FOB=45°（对顶角相等），因为∠AOC=90°，所以∠EOC=∠AOC-∠AOE=90°-45°=45°．解法二：因为∠FOB+∠AOF=180°，∠AOF=3∠FOB，所以∠FOB+3∠FOB=180°，所以∠FOB=45°，所以∠AOF=3∠FOB=3×45°=135°，所以∠BOE=∠AOF=135°．又因为∠AOC=90°，所以∠BOC=180°-∠AOC=180°-90°=90°，所以∠EOC=∠BOE-∠BOC=135°-90°=45°．二、2．解：设这个角为x，则其补角为180°-x，余角为90°-x，根据题意，得（180°-x）+（90°-x）=180°-10°，解得x=50°，所以这个角的度数为50°．点拨：本题是互余，互补及平角的概念的一个交叉综合题，要理清各种关系，才能正确列出方程．3．14点拨：本题是对顶角的性质在物理学中的应用．三、4．解：落入2号球袋，如图所示．点拨：此题应与实际相联系，球被击中后在桌面上走的路线与台球桌面的边缘构成的角等于反弹后走的路线与台球桌面的边缘构成的角．四、5．B点拨：因为AB⊥CD于点O，