冶金传输原理论文

1/6中厚板温度场的分步解析求解方法及应用14研二班冯英英2014102103摘要：在板材的热轧生产过程中，准确知道板材内部温度分布随时间的变化适板材力卞性能控制的关键。以往的方法是利用柯限差分法或常系数偏微分方程的解来计算温度场，为避免有限差分法汁算步数太多和常系数偏微分方程的解不能满足参数随温度变化而变化的不足，给出了分步解析的解。经试验对比，本方法法计算结果与数值解法和实测值接近，可用于中厚板的温度场在线计算。关键词：中厚板；力学性能控制；温度场；分步解析法；在线计算Abstract:intheprocessofplatehotrollingproduction,accurateknowthetemperaturedistributioninsidetheplatesheetalongwiththechangeoftimeoptimalforce\bianperformancecontrolkey.Previousmethodistheuseofpartialdifferentialequationwithconstantcoefficientsofkelimiteddifferencemethodorthesolutiontocalculatethetemperaturefield,inordertoavoidthefinitedifferencemethodofcomputationalstepssolutionofpartialdifferentialequationwithconstantcoefficientsoftoomuchandcan'tmeettheparameterswiththetemperaturechangeandchangeisinsufficient,step-by-stepanalyticalsolutionisgiven.Throughexperimentcontrast.Thisapproachmethodtocalculatetheresultsandthenumericalsolutionandclosetomeasuredvalues,andcanbeusedinthetemperaturefieldofmediumplateonlinecalculation.Keywords:mediumplate;Mechanicalpropertiesofcontrol;Temperaturefield;Step-by-stepanalyticalmethod;Onlinecalculation在热轧板材的生产过程中，温度参数是控制产品力学性能和轧制节奏的关键参数。特别是在中厚板的控制轧制过程中，合理的温度参数设定是保证产品力学性能的根本。板材轧制温度场的计算大致有2种常用的方法：一种是解析解法；另一种则为数值解法。解析解法的优点是只用一个公式即可算出目标温度场，其缺点是偏差大；数值解法则能够根据每时刻温度的变化及时对随温度而变的热物性参数进行调整，因此精度较高，但计算较慢，不利于在线应用。本文提出的分步解析法则吸取这两种算法的优点，既提高了计算的速度，又提高了计算的精度，可以满足热轧板材生产的在线应用要求。1平板温度场偏微分方程的一般解法板材的长度、宽度往往比厚度大得多且上下表面综合传热系数可认为相同，因此，求解2/6板材加热或冷却的温度场问题可视为求解无限大有限厚度平壁的温度场问题。无限大平壁经过一段时间冷却后的温度分布如图1所示。图1无限大平壁的温度场对于板类内部温度场的一般性假设：1）一维假设，就中厚板本身而言，其长宽尺寸远远大于厚度方向的尺寸，而厚度方向散热量又显然大于其他2个方向，工程实际中可作为一维问题处理；2）对称性假设，为了简化计算。假设钢板的温度场对于钢板截面中心对称，为无内热源的传热过程，冷却过程中相变放热用钢板比热的变化。因此，可得描述钢板内部温度场的齐次偏微分方程（1）。由傅里叶定律及能量守恒定律可得无限大有限厚度无内热源（厚度为）平壁温度场在绝热边界和第三类边界条件下可用下列偏微分方程组表示：,0)(|)0,(,0|)0,0(0022fxxuuxuuxuxutxxuatu式中：u为某一时刻平壁内一点的温度，℃；x为以平壁厚度中心为原点的坐标值，m；t为冷却或加热时间，s；δ为平壁半厚，m；a为材料热扩散率，m2/℃；u0为初始温度，℃；λ为材料热导率，W/（m2℃）；α为综合换热系数，W/（m2℃）；uf为环境温度，℃。令ffuuu0u则上述方程变为,0|)0,(,0|)0,0(0022xxxuxxtxxat3/6现在分离变量法解之。令），（）（xXtT则方程组中式（1）变为：XXaTT'''。方程式两边分别是时间（t）和位置坐标（x）的函数，只有两式同为常数时才能相等。故可令2'''-XXaTT可得方程组：0022'XXTT式（8）的同解为)cos()(sinxBxAX，代入边界条件式（5）可得01A不等于0则A必为0，从而得到）（xcosBX。再利用边界条件式(6)得0)aBcos((sin-）B整理得）(tan令0B则上式变为0(tanB）为此一超越方程，其解可视为一正切函数和一反比例函数在无穷区间上的交点横坐标值，且其解是B0函数。因正切函数是周期为的周期函数，故此超越方程有无穷多个解，称(8)的特征值。对于此超越方程可用切线法解近似解。令并整理则此超越方程变为0tan0B令0tanyB则y在)2,2(kk区间上的一阶、二阶导数都大于0。可得其迭代方程)()('1kkkkyy。给出初始值和设定所需精度，则可得一系列ɤ值，从而解出β。由热轧板带材生产实际可知（B0在0.5左右），初始值取3k可用较少步数即可得到所需精度，从而可得某一对应βn的解)cos(nxAXnn和22)(natnneBT令nnBACFn20t则得到一个解)cos(02)(nxeCnFnn下面任务是求无穷级数各项的系数。初始条件10,x）（在区间[0,δ]上满足狄立雷克条件可以展开为无穷余弦级数，并结合以上通解得1n)cos(0,xxCnn）（。利用函数系{cos(βnx)}在区间[0，δ]上的正交性，即0,0)cos()(cosnkdxxxnk，并令dxxLk)(cos02k并在[0，δ]上积分得：dxxCdxxkkk)(cos)(cos1020从)cos()sin()sin(2kkkkkC因此可得)cos()cos()sin()sin(202)(1nxenFkkkkn当x=0时即为平壁的中心无量纲过余温度，记为02)()cos()sin()sin(2Fkkkkne；当F0≦0.2时，仍应采用完整的级数4/6式（9）表示。坐标x处的无量纲过余温度与中心过余温度的比)(cos1xm因此给定xFB00就能求出任一时刻和位置的无纲过余温度，进而求出此时此处的温度，从而得到整个温度场。在实际应用中，有时只需要知道某时刻整个截面上的平均温度就行了。在厚度方向上的积分平均过余温度为1)sin()cos(1110mmdxx根据积分平均过余温度，可以求出给定时刻的平均温度。2考虑到材料热物性参数随温度而变时的分步解法上述解是常系数微分方程的解，随温度的变化是很大的，因此在实际应用中，方程应该能够体现这种变化以减小误差。以钢板在空气巾冷却时的表面综合散热系数为例，其随着温度变化趋势如图2及表1所示根据经验，平壁在冷却或加热的过程中在某一小段时间里其温度变化不是很大，基于此5/6原由决定的2.020tF、决定的22.0t为一个时间单位，其大小与板半厚的平方呈正比，与材料的热扩散系数呈反比。可以把根据初始温度u0，和，α求得的第一个时间单位的最终温度分布，并根据第一个时单位求得的厚度方向积分平均过余温度和表面温度求出此刻α，记为11α1并记第一时间单位里特征值、毕渥数、傅里叶数、中心过余温度分別为nlB（l为第一时间单位，n为级数的第n项）00FB将以上解出的各参数作为第一时间段的解参数，并求出下一时刻的边界条件和初始条件，与微分方程组（2）同理，可列出下一时刻的方程组（3）,0|),cos()0,(,0|)0,0(1022llxllmllxlllxxxxtxxat同理，解得第二时间单位末的通解的第一项系数为)cos()sin(2)]cos()sin()sin()cos([)()(1,21,21,21,21,21,11,11,21,12121,122,1mlC1,2为第二时间单位求得的第个特征值，是11l0B的函数。则第二时间单位末的近似温度分布为)cos(1,22)(ll01,2xeCF，中心过余温度为01,22)(l2mFeC。依此类推，可求出任一时问单位的温度场。3试验验证、分析及应用在中厚板生产采用控制轧制工艺时，对于较薄规格成品其待温度一般为30-40mm，待温开始温度一般为850-900℃，因此,将验证条件与实际生产相一致，以便计界方法的推广应用。采用与数值解法和实际测数据对比的方法对阐述的分步解析法进行验证。其中数值算法采用显式中心差分解法，将平板厚度中心作为绝热面，且数值解法与解析算法采用相同的材料热物性参数和换热系数。验证条件见表2表2验证条件验证条件编号板厚/mm开始温度/℃实测开始温度/℃实测环境温度/℃实测终点温度/℃冷却时间/s130900903258106024085085125782606/6试验板宽度较宽，可认为适用于平板模型，采用2种计算方法时热物性参数设为一致，实测钢板温度时采用Rayte-MMMT型高温计，黑度系数设为0.81，90°对准轧件，从高于试验开始温度开始测量，当实测表面温度与试验开始温度相差小于3℃以内时开始计时，达到试验要求时长时计时结束并读取高温计读数。在上述对比试验条件下，本方法计算结果与数值解法及实测数据对比见表计算与实测数据结果方法条件1冷却终点温度条件2冷却终点温度计算耗时/ms中心温度表面温度中心温度表面温度分步解析法83481581579330mm：＜1040mm：＜10数值解法85083482380430mm：22040mm：380从分析可以看出，解析法时间步长大的多有关，可以通过优化解析法每步的平均材料物性参数解决这个问题。实测数据比2种计算方法的温降都大，这是因为钢板表面被氧化铁皮和水覆盖，高温计并不能测得轧件的表面真实温度，从上述试验数据可知，分步解析法和数值算法结果接近并都与实测数据有较小的偏差，因此，本文所述方法可用于生产实践，并能大大减少计算时间，方便在线使用。4结论本文给出的板坯温度场的分步解析解能够满足较长时间加热或冷却过程；能求出任一时间单位厚度方向积分平均温度；能求出任一单位任一位置的温度梯度，并可应用于其他同形式的微抛物线型偏微分方程。通过试验对比，本方法可用于中厚板温度场的在线计算，计算结果与数值解法及实测数据偏差较小，计算熟读较高。文中的解法在应用中需要注意的事项：在实践中，为了保证计算精度总要保证每个傅里叶数大于0.2，因此，对于较短时间内的温度计算将不能的到所需的精度，在长时间加热或冷却情况下，本解析解应该满足工程的需要。当有多个时间单位并且最后一个时间段小于一个由F0＞0.2条件决定的时间单位时，建议求出级数解的满