北师大版数学必修二1.3.1(18)

2.2.3圆与圆的位置关系明目标、知重点1.理解圆与圆的位置关系的种类；2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系；3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性．1．圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为：外离、外切、相交、内切、内含．2．圆与圆的位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系dr1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|dr1＋r2d＝|r1－r2|0d|r1－r2|(2)代数法判定圆与圆的位置关系：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程．当Δ0时，两圆相交；当Δ＝0时，两圆内切或外切；当Δ0时，两圆外离或内含．[情境导学]同学们一定观看过“日食”现象，那么月亮与太阳的圆形轮廓有哪几种位置关系？又如何判断它们的位置关系呢？本节就来探讨这个问题．探究点一圆与圆的位置关系思考1圆与圆的位置关系有几类？答有内含、内切、相交、外切、外离五种．思考2如何利用几何性质判断圆与圆的位置关系？答设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：(1)当l＞r1＋r2时，圆C1与圆C2外离；(2)当l＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；(3)当|r1－r2|＜l＜r1＋r2时，圆C1与圆C2相交；(4)当l＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；(5)当l＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．思考3判断两圆位置关系的步骤如何？答(1)将两圆的方程化为标准方程；(2)求两圆的圆心坐标和半径R、r；(3)求两圆的圆心距d；(4)比较d与|R－r|，R＋r的大小关系得出结论．思考4已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？答联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆相外切或内切，当Δ0时，两圆外离或内含．例1判断下列两圆的位置关系：(1)(x＋2)2＋(y－2)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝16；(2)x2＋y2＋6x－7＝0与x2＋y2＋6y－27＝0.解(1)根据题意得，两圆的半径分别为r1＝1和r2＝4，两圆的圆心距d＝[2－－2]2＋5－22＝5.因为d＝r1＋r2，所以两圆外切．(2)将两圆的方程化为标准方程，得(x＋3)2＋y2＝16，x2＋(y＋3)2＝36.故两圆的半径分别为r1＝4和r2＝6，两圆的圆心距d＝0＋32＋－3－02＝32，因为|r1－r2|dr1＋r2，所以两圆相交．反思与感悟和判断直线与圆的位置关系一样，判断两圆的位置关系也可以用代数法求方程组解的个数，但由于解两个二元二次方程组通常计算量较大，较为麻烦，而且当无解或是一解时往往还得重新用几何法来讨论，不如直接运用几何法简便．跟踪训练1圆A：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0与圆B：x2＋y2－2x－6y＋1＝0的位置关系是________．答案外切解析圆A的标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆B的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9，两圆心之间的距离为－2－12＋－1－32＝5＝2＋3，即两圆心距＝r1＋r2，故两圆外切．探究点二与两圆相切有关的问题例2求过点A(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程．解方法一将圆C化为标准方程，得(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，则圆心为C(－5，－5)，半径为52.所以经过此圆心和原点的直线方程为x－y＝0.设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由题意知，O(0,0)，A(0,6)在此圆上，且圆心M(a，b)在直线x－y＝0上，则有0－a2＋0－b2＝r2，0－a2＋6－b2＝r2，a－b＝0⇒a＝3，b＝3，r＝32.于是所求圆的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18.方法二此题还可以通过弦的中垂线必过圆心这一性质来解题，由题意，得圆心必在直线y＝3上，又圆心在直线x－y＝0上，从而圆心坐标为(3,3)，r＝32，所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18.反思与感悟无论是圆的标准方程还是圆的一般方程，都存在着三个参数，因此求圆的方程需要三个条件．求圆的方程基本的方法有两种，一是待定系数法，二是几何法．几何法就是充分利用圆的几何性质，转化已知条件，求出圆的方程中的三个参数，如本例方法二．跟踪训练已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．解设两圆交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则A、B两点坐标是方程组x2＋y2＋2x－6y＋1＝0①x2＋y2－4x＋2y－11＝0②的解，①－②得3x－4y＋6＝0，∵A、B两点坐标都满足此方程，∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆C1的圆心坐标为(－1,3)，半径r＝3.d＝|－1×3－4×3＋6|32＋－42＝95.∴AB＝2r2－d2＝232－952＝245.即两圆的公共弦长为245.探究点三求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程思考1若两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，M(x0，y0)为一个交点，则点M(x0，y0)在直线(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0上吗？为什么？答M(x0，y0)在直线(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0上．因为M(x0，y0)为两圆的交点，所以M(x0，y0)既适合圆C1的方程也适合圆C2的方程，所以有x20＋y20＋D1x0＋E1y0＋F1＝0，①x20＋y20＋D2x0＋E2y0＋F2＝0.②由①－②，得(D1－D2)x0＋(E1－E2)y0＋F1－F2＝0，这个方程说明了M(x0，y0)在直线(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0上．思考2若两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，它们的交点弦所在的直线方程是什么？为什么？答它们的交点弦所在的直线方程为：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.设两圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由思考1知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在直线(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0上，而两点确定一条直线，所以过A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程即为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，也即两圆的公共弦所在的直线方程．例求过直线x＋y＋4＝0与圆x2＋y2＋4x－2y－4＝0的交点且与y＝x相切的圆的方程．解设所求的圆的方程为x2＋y2＋4x－2y－4＋λ(x＋y＋4)＝0.联立方程组y＝xx2＋y2＋4x－2y－4＋λx＋y＋4＝0，得x2＋(1＋λ)x＋2(λ－1)＝0.因为圆与y＝x相切，所以Δ＝0.即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，则λ＝3，故所求圆的方程为x2＋y2＋7x＋y＋8＝0.反思与感悟过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0；过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.跟踪训练3求过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点，且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．解设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0.圆心为－31＋λ，－3λ1＋λ，由题意得－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，∴λ＝－7.∴圆的方程是x2＋y2－x＋7y－32＝0.\1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是________．答案相交解析圆x2＋y2－1＝0的圆心C1(0,0)，半径r1＝1，圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心C2(2，－1)，半径r2＝3，两圆心距离d＝C1C2＝2－02＋－1－02＝5，又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，所以r2－r1dr1＋r2，故两圆相交．2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有________条．答案2解析圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.3．若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为________．答案±3或±5解析圆C1与圆C2的圆心距d＝a2＋0－02＝|a|.当两圆外切时，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝±5，当两圆内切时，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±3.4．求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋3y＝0切于点(3，－3)的圆的方程．解设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，将x2＋y2－2x＝0化为标准形式(x－1)2＋y2＝1，由题意可得a－12＋b2＝r＋1，|a＋3b|2＝r，b＋3a－3·－13＝－1.解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－43，r＝6.故所求的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36.[呈重点、现规律]1．判断两圆的位置关系的方法(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用．(2)依据连心线的长与两圆半径长的和或两半径的差的绝对值的大小关系．2．若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程．3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长.一、基础过关1．圆O1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0与圆O2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0的位置关系是________．答案内切解析分别将两圆的方程化为(x－3)2＋(y＋2)2＝1，(x－7)2＋(y－1)2＝36，则圆心O1(3，－2)，O2(7,1)，O1O2＝25＝5，由于O1O2＝5＝6－1，故两圆内切．2．已知0r2＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是________．答案相交解析设圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O′，则O′(1，－1)．两圆的圆心距离d＝12＋－12＝2.显然有|r－2|22＋r.所以两圆相交．3．若两圆x2＋y2－2x＋10y＋1＝0，x2＋y2－2x＋2y－m＝0相交，则m的取值范围是________．答案(－1,79)解析两圆的方程可分别化为(x－1)2＋(y＋5)2＝25，(x－1)2＋(y＋1)2＝m＋2.两圆相交，得|5－m＋2|45＋m＋2，解之得－1m79.4．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是________________________________________________________________________．答案(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36解析由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得a2＋9＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0相内切，则a＝________.答案±1解析两圆的圆心和半径分别为O1(0,0)，r1＝2，O2(a,0)，r2＝1，由两圆内切可得O1O2＝r1－r2，即|a|＝1，所以a＝±1.6．集