北师大版数学必修二1.3.1(19)

2.3.2空间两点间的距离明目标、知重点1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程；2.会应用空间两点间的距离公式求空间中的两点间的距离．1．空间两点间的距离公式(1)平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间距离P1P2＝x2－x12＋y2－y12，特别地，点A(x，y)到原点距离为OA＝x2＋y2.(2)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离公式是AB＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.特别地，点A(x，y，z)到原点的距离公式为OA＝x2＋y2＋z2.2．空间两点的中点坐标公式连结空间两点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)的线段P1P2的中点M的坐标为x1＋x22，y1＋y22，z1＋z22.[情境导学]我们已经学习了平面上任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离公式AB＝x1－x22＋y1－y22.那么空间中任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间距离的公式是怎样的？本节我们就来探讨这个问题．探究点一空间中点P与坐标原点的距离公式思考1根据平面上两点间的距离公式，你能猜想出空间中任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间的距离公式吗？答AB＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.思考2在空间直角坐标系中，坐标轴上的点A(x,0,0)，B(0，y,0)，C(0,0，z)，与坐标原点O的距离分别是什么？答OA＝|x|，OB＝|y|，OC＝|z|.思考3在空间直角坐标系中，坐标平面上的点A(x，y,0)，B(0，y，z)，C(x,0，z)，与坐标原点O的距离分别是什么？答OA＝x2＋y2，OB＝y2＋z2，OC＝x2＋z2.思考4如图，在空间直角坐标系中，设点P(x，y，z)在xOy平面上的射影为M，则点M的坐标是什么？PM，OM的值分别是什么？答M(x，y,0)，PM＝|z|，OM＝x2＋y2.思考5基于上述分析，你能求出点P(x，y，z)与坐标原点O的距离公式吗？答如图，在Rt△OMP中，根据勾股定理OP＝OM2＋PM2＝x2＋y2＋z2.探究点二空间两点间的距离问题在空间中，设点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，在xOy平面上的射影分别为M、N.思考1M，N的坐标是什么？点M、N之间的距离如何？答M(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)；MN＝x1－x22＋y1－y22.思考2若直线P1P2垂直于xOy平面，则点P1、P2之间的距离如何？答P1P2＝|z1－z2|.思考3若直线P1P2平行于xOy平面，则点P1、P2之间的距离如何？答P1P2＝MN＝x1－x22＋y1－y22.思考4若直线P1P2是xOy平面的一条斜线，则点P1、P2的距离如何计算？答在Rt△P1HP2中，根据勾股定理，得P1P2＝P1H2＋HP22＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.小结空间中点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离P1P2＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.思考5连结平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的线段AB的中点M的坐标为x1＋x22，y1＋y22，那么，已知空间中两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，线段AB的中点M的坐标是什么呢？答坐标为x1＋x22，y1＋y22，z1＋z22例1求空间两点P1(3，－2,5)，P2(6,0，－1)间的距离P1P2.解利用两点间距离公式，得P1P2＝6－32＋[0－－2]2＋－1－52＝9＋4＋36＝7.反思与感悟空间两点间的距离公式与平面解析几何中求平面上两点间的距离类似，只是多了一个z坐标的差的平方．公式的记忆方法：同名坐标差的平方和的算术根．跟踪训练1求证：以A(10，－1,6)，B(4,1,9)，C(2,4,3)三点为顶点的三角形是等腰直角三角形．证明根据空间两点间距离公式，得AB＝10－42＋－1－12＋6－92＝7，BC＝4－22＋1－42＋9－32＝7，AC＝10－22＋－1－42＋6－32＝98.因为AB2＋BC2＝AC2，且AB＝BC，所以△ABC是等腰直角三角形．例2平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为x2＋y2＝1.在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的方程．解与坐标原点的距离为1的点P(x，y，z)的轨迹是一个球面，满足OP＝1，即x2＋y2＋z2＝1.因此x2＋y2＋z2＝1，就是所求的球面方程．反思与感悟求空间点的轨迹方程和求平面内的点的轨迹方程类似，关键是寻找动点满足的等量关系，然后用坐标表示等量关系，化简等式即为所求的轨迹方程．跟踪训练2若点P(x，y，z)到平面xOz与到y轴距离相等，则P点坐标满足的关系式为____________．答案x2＋z2－y2＝0解析由题意得|y|＝x2＋z2，即x2＋z2－y2＝0.探究点三空间两点间距离公式的应用例3已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜2)．(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小．解∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴AB、BC、BE两两垂直．过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，垂足分别为G、H，连结NG，易证NG⊥AB.∵CM＝BN＝a，∴CH＝MH＝BG＝GN＝22a，∴以B为原点，以BA、BE、BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，则M22a，0，1－22a，N22a，22a，0.(1)MN＝22a－22a2＋0－22a2＋1－22a－02＝a2－2a＋1＝a－222＋12，(2)由(1)得，当a＝22时，MN最短，最短为22，这时M、N恰好为AC、BF的中点．反思与感悟距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值．跟踪训练3在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)，B(1,0，－3)．在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．解假设在y轴上存在点M(0，y,0)，使△MAB为等边三角形．设坐标原点为O，A、B都在平面xOz上，而y轴垂直于平面xOz，所以OA⊥OM，OB⊥OM.MA＝OA2＋OM2，MB＝OB2＋OM2，又因OA＝OB＝10，所以y轴上的所有点都能使MA＝MB成立，所以只要再满足MA＝AB，就可以使△MAB为等边三角形．因为MA＝32＋－y2＋12＝10＋y2，AB＝25.于是10＋y2＝25，解得y＝±10.故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，此时点M的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．1．点P(1，2，3)到原点O的距离是________．答案6解析d＝1＋22＋32＝6.2．点P(1,2,2)是空间直角坐标系中的一点，设它关于y轴的对称点为Q，则PQ的长为________．答案25解析点P(1,2,2)关于y轴的对称点Q的坐标为(－1,2，－2)，所以PQ＝1＋12＋2－22＋2＋22＝4＋16＝25.3．若A(4，－7,1)，B(6,2，z)，AB＝11，则z＝________.答案－5或7解析∵AB＝11，∴(6－4)2＋(2＋7)2＋(z－1)2＝112，化简得(z－1)2＝36，即|z－1|＝6，∴z＝－5或z＝7.4．已知三点A(1,3,2)、B(－2,0,4)、C(－8，－6,8)，证明：A，B，C三点在同一直线上．解利用两点间距离公式，得AB＝22、BC＝222、AC＝322，所以AB＋BC＝AC，所以A，B，C三点在同一直线上．[呈重点、现规律]1．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．2．若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可；若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解.一、基础过关1．点P(x，y，z)满足x－12＋y－12＋z－12＝2，则点P运动的轨迹是_________________．答案以点(1,1,1)为球心，以2为半径的球面解析x－12＋y－12＋z－12＝2表示的是空间直角坐标系中的动点P(x，y，z)到定点(1,1,1)的距离为2，所以P点满足球面的定义，所以点P运动的轨迹是以点(1,1,1)为球心，以2为半径的球面．2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4，0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为__________________________________________________________________．答案29解析由已知求得C1(0,2,3)，∴AC1＝29.3．已知点A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离CM等于________．答案532解析AB的中点M(2，32，3)，它到点C的距离d＝2－02＋32－12＋3－02＝532.4．已知△ABC顶点坐标分别为A(－1,2,3)，B(2，－2,3)，C(12，52，3)，则△ABC为________三角形．答案直角解析∵AB＝5，BC＝3102，AC＝102，∴AB2＝BC2＋AC2，∴△ABC为直角三角形．5．点P(－3,2,1)关于Q(1,2，－3)的对称点M的坐标是________．答案(5,2，－7)解析设M坐标为(x，y，z)，则有1＝x－32，2＝2＋y2，－3＝1＋z2，解得x＝5，y＝2，z＝－7，∴M(5,2，－7)．6．点P在x轴上，它到点P1(0，2，3)的距离是到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，则点P的坐标是________．答案(1,0,0)或(－1,0,0)解析因为点P在x轴上，设P(x,0,0)，则PP1＝x2＋－22＋－32＝x2＋11，PP2＝x2＋－12＋12＝x2＋2.∵PP1＝2PP2，x2＋11＝2x2＋2，解得x＝±1.∴所求点的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为平面A1B1C1D1的中心，求证：AP⊥PB1.(用坐标法)证明如右图所示，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)由中点坐标公式可得P(12，12，1)，根据空间两点间的距离公式可得AP＝1－122＋0－122＋0－12＝62，PB1＝12－12＋12－12＋1－12＝22，AB1＝1－12＋0－12＋0－12＝2，所以AP2＋PB21＝AB21，∴AP⊥PB1.二、能力提升8．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当AB取最小值时，x的值为________．答案87解析AB＝x－12＋3－2x2＋3x－32＝14x2－32x＋19，∴当x＝－－322×14＝87时，AB最小．9．已知正方体不在同一平面上的两个顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是________．答案64解析AB＝－1－32＋2＋22＋－1－32＝43.又因为A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)不在同一平面上，所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长．设正方体的边长为a，则