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1.(2012·南阳测试)某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－13t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为()A．汽车刹车后1s内的位移B．汽车刹车后1s内的平均速度C．汽车刹车后1s时的瞬时速度D．汽车刹车后1s时的位移解析：选C.由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．2.(2012·驻马店质检)某旅游者爬山的高度h(单位：m)是时间t(单位：h)的函数，关系式是h＝－100t2＋800t，则他在2h这一时刻的高度变化的速度是()A．500m/hB．1000m/hC．400m/hD．1200m/h解析：选C.∵h′＝－200t＋800，∴当t＝2h时，h′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)．3.物体的运动方程是s(t)＝4t－0.3t2，则从t＝2到t＝4的平均速度是________．解析：由题意可得，Δt＝4－2＝2，Δs＝(4×4－0.3×42)－(4×2－0.3×22)＝11.2－6.8＝4.4，∴平均速度为ΔsΔt＝4.42＝2.2.答案：2.24.若某段导体通过的电量Q(单位：C)与时间t(单位：s)的函数关系为Q＝f(t)＝120t2＋t－80，t∈[0，30]，则f′(15)＝________，它的实际意义是____________________．解析：Q′＝f′(t)＝110t＋1，令t＝15，则f′(15)＝52(C/s)，这表示t＝15s时的电流强度，即单位时间内通过的电量．答案：52C/st＝15s时的电流强度为52C/s[A级基础达标]1.圆的面积S是半径r的函数，S＝πr2，那么在r＝3这一时刻面积的变化率是()A．6B．9C．9πD．6π解析：选D.S′＝2πr，∴S′(3)＝6π.2.(2012·宝鸡检测)自由落体的运动公式是s＝12gt2(g为重力加速度)，则物体在下落3s到4s之间的平均变化率是(取g＝10m/s2)()A．30B．32C．35D．40解析：选C.v＝ΔsΔt＝12g×42－12g×324－3＝72g＝35.3.某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设f′(x)＞0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较()A．公司已经亏损B．公司的盈利在增加，增加的幅度变大C．公司在亏损且亏损幅度变小D．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小解析：选D.导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的．4.人体血液中药物的质量浓度c＝f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化，若f′(2)＝0.3，则f′(2)表示________________________________________________________________________________________________________________________________________________.答案：服药2min时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3mg/mL的速度增加5.(2012·西安调研)一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝3t2＋t，则速度v＝10时的时刻t＝________．解析：s′＝6t＋1，则v(t)＝6t＋1，令6t＋1＝10，则t＝32.答案：326.氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体．如果最初有500克氡气，那么t天后，氡气的剩余量为A(t)＝500×0.834t.(1)氡气的散发速度是多少？(2)A′(7)的值是什么(精确到0.1)？它表示什么意义？解：(1)A′(t)＝500×0.834t×ln0.834.(2)A′(7)＝500×0.8347×ln0.834≈－25.5，它表示7天时氡气散发的瞬时速度．[B级能力提升]7.(2012·宜春调研)细杆AB的长为20cm，M为细杆AB上的一点，AM段的质量与A到M的距离的平方成正比，当AM＝2cm时，AM的质量为8g，那么当AM＝xcm时，M处的细杆线密度ρ(x)为()A．2xB．3xC．4xD．5x解析：选C.当AM＝xcm时，设AM的质量为f(x)＝kx2，因为f(2)＝8，所以k＝2，即f(x)＝2x2，故细杆线密度ρ(x)＝f′(x)＝4x，故选C.8.某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数W＝W(t)，则W′(t0)表示()A．t＝t0时做的功B．t＝t0时的速度C．t＝t0时的位移D．t＝t0时的功率答案：D9.(2012·西安测试)酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深8cm，上口宽6cm，水以20cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4cm时，水升高的瞬时变化率为________．解析：设水深为h时，水面半径为r，则h8＝r3，∴r＝38h，经过ts后，水的体积为20t，则20t＝13π(38h)2·h，即h(t)＝320×643πt，∴h′(t)＝13320×643πt－23.又h＝4时，r＝32，V＝3π，∴t＝3π20，h′(320π)＝809π.答案：809πcm/s10.将1kg铁从0℃加热到t℃需要的热量Q(单位：J)：Q(t)＝0.000297t2＋0.4409t.(1)当t从10变到20时函数值Q关于t的平均变化率是多少？它的实际意义是什么？(2)求Q′(100)，并解释它的实际意义．解：(1)当t从10变到20时，函数值Q关于t的平均变化率为Q（20）－Q（10）20－10≈0.4498，它表示在铁块的温度从10℃增加到20℃的过程中，平均每增加1℃，需要吸收热量约为0.4498J.(2)Q′(t)＝0.000594t＋0.4409，则Q′(100)＝0.5003，它表示在铁块的温度为100℃这一时刻每增加1℃，需要吸收热量0.5003J.11.某食品厂生产某种食品的总成本C(单位：元)和总收入R(单位：元)都是日产量x(单位：kg)的函数，分别为C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7x＋0.01x2，试求边际利润函数以及当日产量分别为200kg，250kg，300kg时的边际利润，并说明其经济意义．解：(1)根据定义知，总利润函数为L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2，所以边际利润函数为L′(x)＝5－0.02x.(2)当日产量分别为200kg，250kg，300kg时，边际利润分别为L′(200)＝1(元)，L′(250)＝0(元)，L′(300)＝－1(元)．其经济意义是：当日产量为200kg时，再增加1kg，则总利润可增加1元；当日产量为250kg时，再增加1kg，则总利润无增加；当日产量为300kg时，再增加1kg，则总利润反而减少1元．由此可得到：当企业的某一产品的生产量超过了边际利润的零点时，反而会使企业“无利可图”．