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第2课时直线的两点式方程明目标、知重点1.掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围；2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围；3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标．直线的两点式方程和截距式方程名称两点式截距式条件两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)A(a,0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1[情境导学]已知直线上一点的坐标和直线的斜率我们能用直线的点斜式表示直线的方程；已知直线的斜率及直线在y轴上的截距能用直线的斜截式表示直线的方程，那么，如果已知直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，是否存在直线的某种形式的方程直接表示出直线的方程呢？探究点一直线的两点式方程问题已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，如何求出过这两点的直线方程？思考1经过一点，且已知斜率的直线，如何求它的方程？答利用直线的点斜式方程，将数据代入就能求出直线的方程．思考2能不能把上述问题转化成已经解决的问题？怎样转化？答由于x1≠x2，所求直线的斜率k＝y2－y1x2－x1.取P1(x1，y1)和k，由点斜式方程，得y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)，由y1≠y2，方程两边同除以y2－y1，得y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1.小结经过直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1叫做直线的两点式方程，简称两点式．思考3从两点式方程的形式上看，直线方程的两点式适合求什么样的直线方程？答两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程．例1已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，求l的方程．解将两点A(a,0)，B(0，b)的坐标代入两点式，得y－0b－0＝x－a0－a，即xa＋yb＝1.反思与感悟我们把直线与x轴交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b，方程xa＋yb＝1由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以叫做直线的截距式方程．跟踪训练1三角形的顶点是A(－4,0)，B(3，－3)，C(0,3)，求这个三角形三边所在的直线的方程．解∵直线AB过A(－4,0)，B(3，－3)两点，由两点式得y－0－3－0＝x－－43－－4，整理得3x＋7y＋12＝0，∴直线AB的方程为3x＋7y＋12＝0.∵直线AC过A(－4,0)和C(0,3)两点，由两点式得y－03－0＝x－－40－－4，整理得3x－4y＋12＝0.∴直线AC的方程为3x－4y＋12＝0.∵直线BC过B(3，－3)和C(0,3)两点，由两点式得y－－33－－3＝x－30－3.整理，得2x＋y－3＝0，∴直线BC的方程为2x＋y－3＝0.探究点二直线的截距式方程例2已知直线l经过点(3,4)，且在两轴上的截距相等，求直线l的方程．解方法一设所求直线方程为y－4＝k(x－3)．令x＝0，得y＝4－3k；令y＝0，得x＝3－4k.∵直线在两轴上的截距相等，∴4－3k＝3－4k.∴k＝43或k＝－1.∴所求直线为y－4＝43(x－3)或y－4＝－(x－3)，即4x－3y＝0或x＋y－7＝0.方法二当直线过原点时，它在两轴上的截距都为0，∴直线方程为y＝43x，即4x－3y＝0，当直线不过原点时，设方程为xa＋yb＝1，∵a＝b，且3a＋4b＝1，∴a＝b＝7.此时直线为x7＋y7＝1，即x＋y－7＝0.综上，所求直线为4x－3y＝0或x＋y－7＝0.反思与感悟(1)求直线在坐标轴上的截距的方法是：令x＝0，所得y值是y轴上的截距；令y＝0，所得x值是x轴上的截距．(2)由于直线的截距式方程不表示过原点的直线，因此方法二首先考虑过原点的特殊情况，截距为0的直线很容易被遗忘，应引起重视．跟踪训练求过点(4，－3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．解设直线l在x轴和y轴上的截距分别为a，b，则直线过两点A(a,0)和B(0，b)．(1)当a≠0且b≠0时，由截距式求得直线l的方程为xa＋yb＝1.∵直线l过点(4，－3)，∴4a－3b＝1，①又|a|＝|b|，②由①②联立，得方程组4a－3b＝1，|a|＝|b|，由此解得a＝1b＝1或a＝7，b＝－7.故直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0.(2)当a＝b＝0时，直线l过原点O(0,0)和点(4，－3)，由两点式得直线l的方程为3x＋4y＝0.综上可知，直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.探究点三直线方程的综合问题例3已知直线l方程为xm＋y4－m＝1.(1)若直线l斜率等于2，求m的值；(2)若直线l在x轴与y轴上的截距相等，求m的值；(3)若直线l与两坐标轴正半轴围成的三角形面积最大，求此时直线l的方程．解(1)由题意，得m－4m＝2，解得m＝－4.(2)由题意，得m＝4－m，解得m＝2.(3)由题意，得m0，4－m0，∴0m4.l与坐标轴围成的三角形面积为S＝12m(4－m)＝－12(m－2)2＋2≤4，当且仅当m＝2时，S取最大值，此时，l的方程为x2＋y2＝1，即x＋y－2＝0.反思与感悟已知的直线方程已是截距式，所以必有m≠0，4－m≠0.直线的截距式方程是两点式方程的一种特殊情况，用它来求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长比较方便．注意截距a，b并非距离，这里a∈R，b∈R，另外截距相等包括截距均为零的情况，但此时不能用截距式方程表示，而应用y＝kx表示．不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线y＝1没有横截距，x＝2没有纵截距．跟踪训练3已知1≤t≤2，经过两点(m,2t)和(t－2，m)的直线l的斜率为2，(1)用t表示m；(2)求直线l在y轴上的截距的取值范围．解(1)∵m－2tt－2－m＝2，∴m＝43(t－1)，1≤t≤2.(2)由已知得，直线l的方程为y－2t＝2(x－m)，令x＝0，得y＝2t－2m＝2t－83(t－1)＝－23t＋83.∵t∈[1,2]，∴y∈43，2.故直线l在y轴上的截距的取值范围是43，2.1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为________．答案y＝x＋3解析代入两点式得直线方程y－14－1＝x＋21＋2，整理得y＝x＋3.2．经过P(4,0)，Q(0，－3)两点的直线方程是________．答案x4－y3＝1解析因为由点坐标知直线在x轴，y轴上的截距分别为4，－3，所以直线方程为x4＋y－3＝1.3．经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为________．答案y＝2解析由M，N两点的坐标可知，直线MN与y轴平行，所以直线方程为y＝2.4．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是__________________．答案4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0解析①若直线过原点，则k＝－43，∴y＝－43x，即4x＋3y＝0.②若直线不过原点，设xa＋ya＝1，即x＋y＝a.∴a＝3＋(－4)＝－1，∴x＋y＋1＝0.5．直线l过定点A(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．解由题意可知直线l的方程为xa＋yb＝1(ab≠0)，则有－2a＋3b＝1，12|ab|＝4，解得a＝4，b＝2或a＝－43，b＝－6.∴直线l的方程为x4＋y2＝1或x－43＋y－6＝1，即x＋2y－4＝0，或9x＋2y＋12＝0.[呈重点、现规律]1．求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．2．截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．3．对称问题的解决(1)点关于点对称，可用线段的中点坐标公式．(2)线关于点对称，可设线上任一点及其对称点化为点关于点对称，结合代入法解决．(3)点关于线对称，运用对称点的中点在对称轴直线上、对称点连线与对称轴垂直这两个条件，通过解方程组求解．(4)线关于线对称，转化为点关于线对称，结合代入法解决.一、基础过关1．若一条直线不与坐标轴平行或重合，则关于它的方程下列说法正确的是________．①可以写成两点式或截距式；②可以写成两点式或斜截式或点斜式；③可以写成点斜式或截距式；④可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式．答案②解析由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故答案为②.2．直线xa2－yb2＝1在y轴上的截距是________．答案－b2解析令x＝0得，y＝－b2.3．过点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为____________________________________．答案－32解析由两点式y－19－1＝x＋13＋1，得y＝2x＋3，令y＝0，有x＝－32，即在x轴上的截距为－32.4．过点(5,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是_________________．答案x＋2y－9＝0或2x－5y＝0解析当y轴上截距b＝0时，方程设为y＝kx，将(5,2)代入得，y＝25x，即2x－5y＝0；当b≠0时，方程设为x2b＋yb＝1，求得b＝92，即x＋2y－9＝0.两条直线l1：xa－yb＝1和l2：xb－ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是________．答案①解析化为截距式xa＋y－b＝1，xb＋y－a＝1.假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知①项符合．6．已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x0，y0)在线段AB上移动，则4x0＋3y0的值等于________．答案12解析AB所在直线方程为x3＋y4＝1，则x03＋y04＝1，即4x0＋3y0＝12.7．求过点A(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．解方法一(1)当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝25x，即2x－5y＝0；(2)当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为xa＋y－a＝1，即x－y＝a，又∵l过点A(5,2)，∴5－2＝a，a＝3，∴l的方程为x－y－3＝0，综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0，或x－y－3＝0.方法二由题意知直线的斜率一定存在．设直线的点斜式方程为y－2＝k(x－5)，x＝0时，y＝2－5k，y＝0时，x＝5－2k.根据题意得2－5k＝－5－2k，解方程得k＝25或1.当k＝25时，直线方程为y－2＝25(x－5)，即2x－5y＝0；当k＝1时，直线方程为y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0.二、能力提升8．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．答案3解析直线AB的方程为x3＋y4＝1，设P(x，y)，则x＝3－34y，∴xy＝3y－34y2＝34(－y2＋4y)＝34[－(y－2)2＋4]≤3.即当P点坐标为32，2时，xy取最大值3.9．已知点A(2,5)与点B(4，－7)，点P在y轴上，若PA＋PB的值最小，则点P的坐标是________．答案(0,1)解析要使PA＋PB的值最小，先求点A关于y轴的对称点A′(－2,5)，连结A′B，直线A′B与y轴的交点P即为所求点．1