北航2011年大一上工科数分期中考试试卷

第1页共3页北京航空航天大学2011-2012学年第一学期期中考试工科数学分析试卷（2011.12.25）一、计算(5’*8=40’)1)用Stolz定理计算极限41233122123limnnnnn.2)设32()(1)xfxxxx,求()fx.3)求极限10(1)elimxxxx.4)求函数322()(4)fxxxx的拐点。5)设(cossin)()=(sincos)xattfxyattt,求ddyx.6)求函数()lnfxxx在(0,)上的最值.7)判断函数211()=exnfxx间断点的类型.8)求函数2()=ln(1)fxxx在0x处直到四阶的Taylor展开（Peano余项形式）.二、证明(15’)1)3sin(0)6xxxx2)设函数1()=ln()nfxxxn,证明()(1)!nnyx.三、(10’)设1110,0,(2),1,2,nnnAxxxAxnA,证明不等式11nnxxA对任意第2页共3页n成立，并求出极限limnnx.四、(10’)用Cauchy收敛原理证明数列2sin(sin)nnkkxxkkkx收敛.五、(15’)设()fx在0x处二次可导，且()0fx，由Lagrange中值定理知存在0()1h,使得式子000(+)()(())fxhfxfxhhh成立，计算或者证明下列结论：1)写出()fx和()fx在0xx处的Taylor公式；2)证明01lim()2hh.六、(10’)设()fx在(0,]a连续，且极限0+lim()xxfx存在，证明()fx在(0,]a上一致连续.[附加题]七、(10’)以下题目任选其一：1)设()[01]fx，，且()0fx,令0()max(),[0,1]txMxftx,证明：函数()()lim()nnfxQxMx连续的充要条件是()fx单调递增.2)证明开区间套定理1.设开区间序列(,),nnnIabn满足12121nnnaaabbbb.2.区间长度0()nnnIban,第3页共3页则存在唯一1(,)niiiab满足limlimnnnnab.