北航复变函数试题答案及评分标准A

1复变函数试题答案及评分标准（A卷）一、名词解释评分细则：每小题4分，意思只要答对不扣分。（1）复平面上的点集D，如果满足以下条件称其为区域：D是开集；D中任意两个有限点可以用有限个相衔接的线段所构成的折线连接起来，而这些折线上的点完全属于D。（2）如果函数)(zf在有限复平面上除去有极点外，到处解析，那么称)(zf为亚纯函数。（3）如果函数)(zf在去心圆盘)0(\|0:0RRzzD内确定并解析，那么称0z为)(zf的孤立奇点。（4）如果函数)(zf在区域D内解析，并且在D内任意不同的两点，函数所取的值不同，则称)(zf为区域D内的单叶解析函数。（5）设D是在实轴某一边的区域，其边界是一分段光滑简单闭曲线，其中有一段是实轴上的一个区间I（不计端点）。设函数)(zf在区域D内及I上所有点组成的集上连续，在D内解析，而且在I取实值。考虑与区域D关于实轴对称的区域D,并且把函数)(zf的定义扩充到D：)()(zfzf那么)(zf在D和I上都是解析的。二、在每个空中填写一个正确答案评分细则：每小题5分。其中第（2）题填对一个支点给1分；其余各题，填错或填两个一对一错答案着，给零分。（1）iarctg)34(5ln；（2）-1，1，2，0，；（3）i2864；（4）5；（5）8；（6）iCzez（C为实常数）；（7）20)2(1)1(nnnz。2三、（1）若0z在1C的内部时，应用柯西积分公式和柯西定理，有)sin(2121002dzzzzdzzzziICC=dzzzziC1022120z；…………4分；（2）若0z在2C的内部时，应用柯西积分公式和柯西定理，有)sin(2121002dzzzzdzzzziICC00sinsin212zdzzzziC；………4分；（3）若0z不在1C的内部也不在2C的内部时，两个被积函数分别在1C上及其内部，在2C上及其内部解析，由柯西定理，有)sin(2121002dzzzzdzzzziICC=0+0=0。……………2分；四、222)()(azzzf在实轴上解析，在上半平面上除去aiz为二级极点外解析，并且)(0)(zzf；………………………………………3分于是)],)((Re[Re2)(sin0222aiezfsdxaxmxxIimz…………3分]')([lim2222azeimzaizameamemama242。……………………………………………………………4分五、由条件0)(iw知，所求的映射要将上半平面中的点iz映为单位圆的圆心0w，因此所求变换为)(izizewi。…………………………………4分因为2)(2'iziewi，故有2)('ieiwi，………………………………………2分32,0)2()2arg(arg)('argieiwi……2分从而所求的映射为)(iziziw……………………………………………2分六、（1）设曲线rzC|:|，其中r为任意小于R的正实数。由于在C及其内部，由导数公式Cnnzfinf1)()()(2!)(………………………3分由于在Rz||时，Mzf|)(|，从而|)()(2!||)(|1)(CnnzfinfCndMn1||||2!,3,2,1,!22!1nrMnrrMnnn………………5分（2）若)(zf在全平面上解析，则它有泰勒展式nnzazazaazf2210)(并且),3,2,1,0(!)0()(nnfann，……………………3分于是，由（1）当1n时，)(0!!|)0(|||)(rrnMnfannn，,,2,1n从而)(zf恒为常数。…………………………………………………4分