北航研究生数理统计试题

一、（6分，A班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体2(,)N的样本，令122234562()()()xxTxxxx，试证明T服从t-分布t（2）二、（6分，B班不做）统计量F-F(n,m)分布，证明111(,)FFnm的（01）的分位点x是。三、（8分）设总体X的密度函数为(1),01(;)0,xxpx其他其中1，是位置参数。x1，x2，…，xn是来自总体X的简单样本，试求参数的矩估计和极大似然估计。四、（12分）设总体X的密度函数为1xexpx(;)0,px，其它，其中,0,已知，是未知参数。x1，x2，…，xn是来自总体X的简单样本。（1）试求参数的一致最小方差无偏估计；（2）是否为的有效估计？证明你的结论。五、（6分，A班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体211(,)N的简单样本，y1，y2，…，yn是来自正态总体222(,)N的简单样本，且两样本相互独立，其中221122,,,是未知参数，2212。为检验假设012112:,:,HH可令12,1,2,...,,,iiizxyin则上述假设检验问题等价于0111:0,:0,HH这样双样本检验问题就变为单检验问题。基于变换后样本z1，z2，…，zn，在显著性水平下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。六、（6分，B班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体20(,)N的简单样本，0已知，2未知，试求假设检验问题22220010:,:HH的水平为的UMPT。1.统计量T~t（n）分布，则统计量T2的α（0α1）分位点xα（P{T2≤xα}=α）是（）A.212()tnB.12()tnC.12()tnD212()tn2.设随机变量X～N(0，1)，Y～N(0，1)，则（）A.2XY服从t-分布B.X2+Y2服从2-分布C.X2和Y2都服从2-分布D.X2/Y2服从F-分布4.假设总体X服从两点分布，分布率为P{X=x}=px(1-p)1-x，其中x=0或1，p为未知参数，X1,X2,…，Xn是来自总体的简单样本，则下面统计量中不是充分统计量的是（）A.1iniXB.11iniXnC.111iniXnD.11iniXpn1.设X1,X2,…，Xn是来自总体N(0，2)的简单样本,则常数c=_________时统计量121miiniimcXX服从t-分布（1mn），其自由度为____________2.设X1,X2,…，Xn是来自总体N(，2)的简单样本,其中2已知。则在满足P{XaXb}=1-a的均值的置信度为1-α的置信区间类{[,XaXb]:a,b常数}中区间长度最短的置信区间为()3.设X1,X2,…，Xn是来自总体N(，2)的简单样本,已知，则2的无偏估计22111()1nkkSXXn，22211()nkkSXn中较优的是()4．在双因素实验的方差分析中，总方差TS的分解中包含误差平方和2.111()pqrEijkijijkSxx，则ES的自由度为（）三，（12分）设X1,X2,…，Xn来自指数分布10()00xexfxx的简单样本，试求参数的极大似然估计，它是否是无偏估计？（2）求样本的Fisher信息量；（3）求的一致最小方差无偏估计;(4)问是否是的有效估计？五．（6分，A班不做）设某切割机切割金属棒的长度X服从正态分布，正常工作时，切割每段金属棒的平均长度为10.5cm。某日为了检验切割机工作是否正常，随机抽取15段进行测量，得平均样本值x=10.48cm，样本方差s2=0.056cm2。在显著性水平α=0.05下，试问该切割机工作是否正常？（0.950.9750.950.9751.64,1.96,(14)1.7631,(14)2.1448zztt）六．（6分，B班不做）设X～N(，2),2已知，X1,X2,…，Xn来自X的样本，并设的先验分布为～N(,2),2已知，则可知均值的Bayes估计为222211nXn试通过此例说明Bayes估计的特点。七．（B班不做）设总体X服从正态总体N(0，2)，X1,X2,…，Xn是来自总体的简单样本，考虑检验问题2201:1:2HH在显著水平α=0.05下，求最优检验（MP）的拒绝域。