北航线代期末考试模拟题1(含答案)

宇航学院学习部整理线性代数期末考试模拟题一一、单项选择题1．设A为3阶方阵,数=2,|A|=3,则|A|=（）A．24;B．24;C．6;D．6.2．设A为n阶方阵,n1+n2+n3=n,且|A|0,即123AAAA,则A-1=()A．111213AAAA;B．111213AAAA;C．131211AAAA;D．131211AAAA.3．设A为n阶方阵,A的秩R(A)=rn,那么在A的n个列向量中（）A．必有r个列向量线性无关;B．任意r个列向量线性无关;C．任意r个列向量都构成最大线性无关组;D．任何一个列向量都可以由其它r个列向量线性表出.4．若方程组AX=0有非零解,则AX=β(≠0)（）A．必有无穷多组解;B．必有唯一解;C．必定没有解;D．A、B、C都不对.5.设A、B均为3阶方阵,且A与B相似,A的特征值为1,2,3,则(2B)-1特征值为()A．2,1,32;B.12,14,16;C．1,2,3;D．2,1,23.6.设A，B为n阶矩阵，且R（A）=R（B），则（）A．AB=BA;B．存在可逆矩阵P,使P-1AP=B;宇航学院学习部整理C．存在可逆矩阵C,使CTAC=B;D．存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B.7．实二次型2123222132122,,xxxxxxxxf是（）A．正定二次型;B．半正定二次型;C．半负定二次型;D．不定二次型.8．设A,B为满足AB=0的任意两个非零矩阵,则必有（）A．A的列向量线性相关,B的行向量线性相关；B．A的列向量线性相关,B的列向量线性相关；C．A的行向量线性相关,B的行向量线性相关；D．A的行向量线性相关,B的列向量线性相关.二、填空题⒈若行列式的每一行（或每一列）元素之和全为零，则行列式的值等于_______________;2.设n阶矩阵A满足A22A+3E=O，则A-1=_______________;3.设1230,3,1,2,1,1,2,4,3,0,7,13TTT，则321,,的一个最大线性无关组为___________________________;4.设0是非齐次方程组AX=b的一个解向量，rn,,,21是对应的齐次方程组AX=0的一个基础解系，则0,,1,,2rn线性__________;5.设1,2为n阶方阵A的两个互不相等的特征值，与之对应的特征向量分别为X1，X2，则X1+X2_________________________矩阵A的特征向量。，6.设A为n阶方阵，若A有特征值1,2,,n，则|A2+E|=____________________________________;宇航学院学习部整理7.n维向量空间的子空间W=(x1，,x2,,xn):12200nnxxxxx的维数是__________;8.设123123123123(,,),(,24,39)AB如果|A|=1,那么|B|=_______.三、解矩阵方程BAXX2，其中001121011A，302031B.四、设方程组.,,13221321321xxxxxxxxx问当取何值时，（1）方程组有唯一解；（2）方程组无解；（3）方程组有无穷多解，求其通解（用解向量形式表示）.宇航学院学习部整理五、已知二次型,222123123121323,,553266fxxxxxxxxxxxx，(1)写出此二次型对应的矩阵A;(2)求一个正交变换x=Qy,把二次型f(x1,x2,x3)化为标准型.宇航学院学习部整理六、设)1,1,1(1，)2,1,0(2，)3,0,2(3是R3中的向量组，用施密特正交化方法把它们化为标准正交组.七、设A为n阶方阵,求证:A2=A的充分必要条件是:R(A)+R(A-E)=n.宇航学院学习部整理试题一参考答案一.1.B2.C3.A4.D5.B6.D7.A8.A二.1.02.A1=23EA3.21,3,4.无关5.不是6.22212(1)(1)(1)n7.n28.2三.解由BAXX2，得BXAE)2(.因为03201101011|2|AE，所以矩阵AE2可逆，BAEAEBAEX|2|*)2()2(1=11331230032111012312031.四.解:222125422451~512120111(1)(10)(1)(4)0022宇航学院学习部整理当0A,即2(1)(10)021且10时，有唯一解.当(1)(10)02且(1)(4)02，即10时，无解.当(1)(10)02且(1)(4)02，即1时，有无穷多解.此时，增广矩阵为122100000000原方程组的解为12123221100010xxkkx(12,kkR)五.1.二次型f所对应的矩阵为：513153,333A2.可求得det()(4)(9),AEA于是的特征值1230,4,9,特征向量1231111,1,1.201ppp将其单位化得1111616,26pqp2221212,0pqp3331313.13pqp故正交变换为：宇航学院学习部整理112233111623111,62321063yxyxxy标准型：222349.fyy六．解：易验证321,,线性无关，从而可施行施密特标准正交化.令)1,1,1(11，)1,0,1()1,1,1(33)2,1,0(,,1111222，111132222333,,,,)1,1,1(35)1,0,1(21)3,0,2(七．证法1.充分性由R(A)+R(A-E)=n可得:[n-R(A)]+[n-R(A-E)]=n则方程组AX=0与(A-E)X=0两个解空间的维数之和为n,故A有n个线性无关的特征向量nii,,2,10分别属于特征值0,1存在P(P可逆),使得:P-1AP=0Ernr于是P-1A2P=220rnrE0nrEr=P-1AP故A2=A2.必要性因为A2=A所以A(A-E)=0从而n=R(E)R(A)+R(A-E)n故R(A)+R(A-E)=n.得证.