几种参数方程确定的函数的导数

几类特殊形式函数的导数第二章第四节一、隐函数的求导法；本节主要内容二、对数求导法；三、参数方程所确定的四、相关变化率。函数的导数；定义:.)(0),(称为隐函数所确定的函数由方程xyyyxF.)(形式称为显函数xfy0),(yxF)(xfy隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.?0;101222yyxexyyxxy一、隐函数的求导法例1.,00xyxdxdydxdyyeexy的导数所确定的隐函数求由方程解,求导方程两边对x0dxdyeedxdyxyyx解得,yxexyedxdy,0,0yx由原方程知000yxyxxexyedxdy.1yeexyyyeyyy)(),(,为中间变量，例2.)1,0(,144处的值在点求设yyxyx解求导得方程两边对x)1(04433yyyxyx得代入1,0yx;4110yxy求导得两边再对将方程x)1(04)(122123222yyyyyxyx得4110yxy,1,0yx代入.16110yxy例3.)323,2(191622处的切线方程在点求椭圆yx解1613)(2xy法一求导得两边对（法二）将方程x43)2(0928yyyx).2(43323xy方程为例4：上点，求过的方程为设曲线CxyyxC333解：,求导方程两边对xyxyyyx333322),(),(2323222323xyxyy。1所求切线方程为)23(23xy。即03yx2323xy法线方程为。即xy故曲线通过原点。，时，当00yx，xyxyy22在该点的法并证明曲线的切线方程C,),(2323。线通过原点。，，求：例222255dxyddxdyxyysin解：两边对x求导数得xyyyy210cosyyxycos102的表达式两边求导数得对y210102102)cos()sin()cos(yyyyyxyyy。32210104102)cos()sin()cos(yyyxyy观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:.)()(的情形数多个函数相乘和幂指函xvxu二、对数求导法.1lnxx例：,1ln0xxx时，当,1)1(1ln0xxxx时，当.1lnxx总有例4解]142)1(3111[)4(1)1(23xxxexxxyx等式两边取对数得xxxxy4ln21ln311lnln求导得上式两边对x142)1(3111xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx求设例5解.),0(sinyxxyx求设等式两边取对数得xxylnsinln求导得上式两边对xxxxxyy1sinlncos1)1sinln(cosxxxxyy)sinln(cossinxxxxxx求导法求导：也可直接根据复合函数)ln(sinlnsinxxexx]1sinln[cossinxxxxxx)()(lnsinsinxxxexy一般地)0)(()()()(xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd又])()()()(ln)([)()()(xuxuxvxuxvxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf适用范围:.)()(的情形数多个函数相乘和幂指函xvxu练习.),0(yxxyx求设.,)()(定的函数称此为由参数方程所确间的函数关系与确定若参数方程xytytx例如,,22tytx2xt22)2(xty42xxy21消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?t三、参数方程所确定的函数的导数),()(1xttx具有单调连续的反函数设函数)]([1xy,0)(,)(),(ttytx且都可导再设函数由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdydtdxdtdy1)()(ttdtdxdtdydxdy即,)()(中在方程tytx.)(1是中间变量xt,)()(二阶可导若函数tytx)(22dxdydxddxyddxdtttdtd))()(()(1)()()()()(2tttttt.)()()()()(322tttttdxyd即dtdxttdtd))()((dxdtdtdxdyd.)(1是中间变量xt例解：dtdxdtdydxdy，ttcossin1taatacossin2122cossintdxdy。1处的切线方程。在求摆线21ttayttax)cos()sin(。，时，当ayaxt)(122所求切线方程为)12(axay。即)(22axy例7解.sincos33表示的函数的二阶导数求由方程taytaxdtdxdtdydxdy)sin(cos3cossin322ttattattan)(22dxdydxddxyd)cos()tan(3tatttatsincos3sec22tatsin3sec4dxdtttdtd))()((dxdtdtdxdyddtdxttdtd))()((例解.的速度大小炮弹在时刻)2(;的运动方向炮弹在时刻)1(求,21sin,cos其运动方程为,发射炮弹发射角,以初速度,不计空气的阻力002000ttgttvytvxvxyovxvyv0v.可由切线的斜率来反映,时刻的切线方向轨迹在时刻的运动方向即在)1(00tt)cos()21sin(020tvgttvdxdycossin00vgtv.cossin0000vgtvdxdytt轴方向的分速度为时刻沿炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxvcos0v00)21sin(20ttttygttvdtdyv00singtv时刻炮弹的速度为在0t22yxvvv2020020sin2tggtvv.,)(:),(,)()(化率称为相关变化率这样两个相互依赖的变之间也存在一定关系与从而它们的变化率之间存在某种关系与而变量都是可导函数及设dtdxxfdtdydtdydtdxxfyyxtyytxx相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?dtdxxfdtdyxfy)(),(即可得建立关系求法：四、相关变化率例9解?,500./140,500率是多少观察员视线的仰角增加米时当气球高度为秒米其速率为上升米处离地面铅直一汽球从离开观察员则的仰角为观察员视线其高度为秒后设气球上升,,,ht500tanh求导得上式两边对tdtdhdtd5001sec2,/140秒米dtdh2sec,5002米时当h)/(14.0秒弧度dtd仰角增加率米500米500例10解?,20,120,4000,/803水面每小时上升几米米时问水深的水槽顶角为米形状是长为水库秒的体流量流入水库中米河水以则水库内水量为水深为设时刻),(),(tVtht234000)(htV求导得上式两边对tdtdhhdtdV38000,/288003小时米dtdV小时米/104.0dtdh水面上升之速率060,20米时当h22232212:hhhh截面积小结隐函数求导法则:直接对方程两边求导;对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法:通过建立两者之间的关系,复合函数求导法求解.