几种特殊类型函数的积分

几种特殊类型函数的积分一、有理函数的不定积分1.化有理函数为简单函数两个多项式的商所表示的函数)(xR称为有理函数，即mmmmmnnnnnbxbxbxbxbaxaxaxaxaxQxPxR122110122110)()()(（1）其中n和m是非负整数；naaaa,,,,210及mbbbb,,,,210都是实数，并且0,000ba．当（1）式的分子多项式的次数n小于其分母多项式的次数m，即mn时，称为有理真分式；当mn时，称为有理假分式．对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一个真分式之和的形式．例如12)1(112224xxxxxx．多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题．设有理函数（1）式中mn，如果多项式)(xQ在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积：)()()()()(220srxxqpxxbxaxbxQ．其中srqpba,,,,,,,为实数；042qp，…，042sr；,,,,,为正整数，那末根据代数理论可知，真分式)()(xQxP总可以分解成如下部分分式之和，即)()()()()(1121bxBaxAaxAaxAxQxP)()(21112qpxxNxMbxBbxB)()(21121222srxxSxRqpxxNxMqpxxNxMsrxxSxRsrxxSxR21222)(．（2）其中iiiiiiSRNMBA,,,,,,,都是待定常数，并且这样分解时，这些常数是唯一的．可见在实数范围内，任何有理真分式都可以分解成下面四类简单分式之和：（1）axA，（2）kaxA)(（k是正整数，2k），（3）qpxxBAx2（042qp），（4）kqpxxBAx)(2（k是正整数，04,22qpk）．2.有理函数的不定积分求有理函数的不定积分归结为求四类简单分式的积分．下面讨论这四类简单分式的积分．（1）CaxAaxdaxAdxaxAln)(1，（2）CaxkAaxdaxAdxaxAkkk1)(11)()()(，（3）dxqpxxBAx2（042qp）．将分母配方得)4()2(222pqpxqpxx，作变量代换2pxu，则dudxpux,2；由于04,0422pqqp，记224apq，于是duauBpuAdxpqpxBAxdxqpxxBAx22222)2()4()2(duauApBduauAu22222CauaApBauAarctan2)ln(222CpqpxpqApBqpxxA22242arctan42)ln(2．（4）dxqpxxBAxk)(2(04,22qpk)．作变量代换2pxu，并记224apq，于是duauApBduauAudxqpxxBAxkkk)(2)()(22222．其中第一个积分CaukAaudauAduauAukkk122222222)(1)1(2)()(2)(．第二个积分可通过建立递推公式求得．记kkauduI)(22利用分部积分法有12222222)(2)()(kkkkauduukauuauduIduauaaukauukk12222222)()(2)(122222)(kkkkIakIauu．整理得kkkIkakauukaI22221212)(21．于是可得递推公式]2232)()1(21[111222kkkIkkauukaI．（3）利用（3）式，逐步递推，最后可归结为不定积分CauaauduIarctan1221．最后由2pxu全部换回原积分变量，即可求出不定积分dxqpxxBAxk)(2．例1求dxxxx22)32(1．解dxxxdxxxx2222]2)1[(21)32(12222)2(2)2(1ududuuuxu]2212121[212)2(21222uduuuuCuuu2arctan221)2(212`Cxxxx21arctan221)32(222．例2求dxxx2)1(1．解因为2)1(1xx可分解为1)1()1(122xCxBxAxx．其中A，B，C为待定系数．可以用两种方法求出待定系数．第一种方法：两端去掉分母后，得)1()1(12xCxBxxA．（4）即AxCABxCA)2()(12由于（4）式是恒等式，等式两端2x和x的系数及常数项必须分别相等，于是有1020ACABCA，从而解得1A，1B，1C．第二种方法：在恒等式（4）中，代入特殊的x值，从而求出待定系数．如令0x，得1A；令1x，得1B；把A，B的值代入（4）式，并令2x，得C2211，即1C．于是dxxxxdxxx)11)1(11()1(122dxxdxxdxx11)1(112Cxxx1ln11ln．例3求dxxxx22)1)(1(22．解因为1)1(1)1)(1(2222222xEDxxCBxxAxxx，两端去分母得)1)(1)(()1)(()1(22222xxEDxxCBxxAx234)2()()(xBEDAxDExDA)()(CEAxCBED．两端比较系数得220200CEACBEDBEDADEDA，解方程组得1A，2B，0C，1D，1E，故dxxxxxxdxxxx)11)1(211()1)(1(2222222dxxxdxxxdxx11)1(211222Cxxxxarctan)1ln(21111ln22Cxxxxarctan1111ln22．例4求dxxxx6532．解因为32)3)(2(36532xBxAxxxxxx，两端去分母得)2()3(3xBxAx．令2x，得5A；令3x，得6B．于是Cxxdxxxdxxxx2ln53ln6)2536(6532Cxx56)2()3(ln．从理论上讲，多项式)(xQ总可以在实数范围内分解成一次因式和二次质因式的乘积，从而把有理函数)()(xQxP分解为多项式与四类简单分式之和，而简单分式都可以积出．所以，任何有理函数的原函数都是初等函数．但我们同时也应该注意到，在具体使用此方法时会遇到困难．首先，用待定系数法求待定系数时，计算比较繁琐；其次，当分母的次数比较高时，因式分解相当困难．因此，在解题时要灵活使用各种方法．例5求dxxxxxx12232．解dxxdxxdxxxxxdxxxxxx1111)1)(1()1()1(12222232Cxxarctan1ln．例6求dxxxxx)54)(44(122．解dxxxxxxxxxdxxxxx)54)(44()44()54()54)(44(1222222dxxxdxxx54144122)2(1)2(1)2()2(122xdxxdxCxx)2arctan(21．例7求dxx114．解dxxxdxxxdxx112111211142424dxxxxdxxxx2222221112111121)1(2)1(121)1(2)1(12122xxdxxxxdxxCxxxxxx1212ln24121arctan221222．二、三角函数有理式的积分由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角函数有理式．因为所有三角函数都可以表示为xsin和xcos的有理函数，所以，下面只讨论)cos,(sinxxR型函数的不定积分．由三角学知道，xsin和xcos都可以用2tanx的有理式表示，因此，作变量代换2tanxu，则222122tan12tan22sec2tan22cos2sin2sinuuxxxxxxx,22222222112tan12tan12sec2tan12sin2coscosuuxxxxxxx．又由uxarctan2，得duudx212，于是duuuuuuRdxxxR222212)11,12()cos,(sin．由此可见，在任何情况下，变换2tanxu都可以把积分dxxxR)cos,(sin有理化．所以，称变换2tanxu为万能代换．例8求dxxxcossin11．解设2tanxu，则duuduuuuuudxxx1112111211cossin112222CxCu2tan1ln1ln．例9求dxxxcos1sin1．解设2tanxu，则duuuuuduuuuuudxxx)1(2)1(12111121cos1sin12222222duuuduu)1(2122duuuuuduu)1()1(212222duuuduuduu2212121Cuuu)1ln(ln212Cxxx)2ln(sec2cot2tanln22．虽然利用代换2tanxu可以把三角函数有理式的积分化为有理函数的积分，但是，经代换后得出的有理函数积分一般比较麻烦．因此，这种代换不一定是最简捷的代换．例10求dxxxsin1sin．解dxxxxdxxxxdxxx222cossinsinsin1)sin1(sinsin1sindxxxdxxx222coscos1cossindxdxxxdx22cos1coscos1Cxxxtancos1．例11求dxx2cos311．解xdxdxxxdxxtan4tan13secseccos3112222Cx)2tanarctan(21．三、简单无理函数的积分（一）),(nbaxxR型函数的积分),(uxR表示x和u两个变量的有理式．其中a，b为常数．对于这种类型函数的积分，作变量代换ubaxn，则abuxn，duanudxn1，于是duanuuabuRdxbaxxRnnn1),(),(．（5）（5）式右端是一个有理函数的积分．例12求dxx3211．解令ux32，则23ux，duudx23，于是duuuduuudxx111313211223Cuuuduuu)1ln2(3)111(32Cxxx333221ln323)2(23．例13求dxxx31．解为了同时去掉被积函数中的两个根式，取3和2的最小公倍数6，并作变量代换ux6，则6ux，duudx56，23ux，3ux，于是duuuduuudxxx1616128283uduuuu)111(62246Cuuuuuarctan6625676357Cxxxxxx66