几类特殊矩阵的满秩分解及其应用doc

目录0引言......................................................................................................................................................11预备知识..............................................................................................................................................12几类特殊矩阵满秩分解......................................................................................................................22.1酉对称矩阵的满秩分解...............................................................................................................22.2行（列）对称矩阵的满秩分解...................................................................................................32.3行（列）反对称矩阵的满秩分解...............................................................................................42.4全对称矩阵中具有轴对称结构矩阵的满秩分解.......................................................................42.5广义延拓矩阵的满秩分解...........................................................................................................53矩阵的满秩分解的应用......................................................................................................................63.1利用矩阵A的满秩分解求广义逆矩阵.......................................................................................63.1.1利用矩阵A的满秩分解求广义逆矩阵-A..........................................................................63.1.2利用矩阵A的满秩分解求M-P广义逆矩阵A.................................................................73.2线性方程组的极小最小二乘问题...............................................................................................8参考文献致谢几类特殊矩阵的满秩分解及其应用赵爱霞（天水师范学院数学与统计学院,甘肃天水741001）摘要介绍了五类特殊矩阵，即酉对称矩阵、行（列）对称矩阵、行（列）反对称矩阵、全对称矩阵及广义延拓矩阵，的满秩分解和求解方法，并说明了满秩分解在求广义逆中的应用.关键词酉对称矩阵;行（列）对称矩阵;行（列）反对称矩阵;全对称矩阵;广义延拓矩阵;广义逆矩阵;满秩分解.FullRankDecompositionandApplicationforsomekindsofSpecialMatrixZHAOAixia(SchoolofMathematicsandStatistics,TianshuiNormalUniversity,Tianshui741001)AbstractTheformulasandmethods,forfullrankdecompositionsoffivekindsofspecialmatrices,suchasunitarysymmetricmatrix,row(column)symmetricmatrix,row(column)negativesymmetricmatrix,fullsymmetricmatrix,aregiven,Moreover,weshowtheimportanceofthefullrankdecompositioninfindinggeneralizedinverseofmatrix,Keywordsunitarysymmetricmatrix,row(column)symmetricmatrix,row(column)negativesymmetricmatrix,fullsymmetricmatrix,generalizedinversematrix,generalizedcontinuationmatrix,fullrankdecomposition.数学与统计学院2012届毕业论文1几类特殊矩阵的满秩分解及其应用0引言自20世纪50年代以来矩阵的理论和计算方法的研究取得了长足的发展,矩阵理论的应用日益广泛.矩阵已成为人们探索新理论的工具,矩阵分解的应用也越来越受到人们的重视,例如在文献5,4,3,2中都有不同的研究.在数值线性代数中,我们常常需要将数域P上的某个已知矩阵写成若干满足一定条件的特殊类型的矩阵之和或矩阵之积的形式,并把这种矩阵表示成为矩阵分解.矩阵分解中有一类特殊的矩阵的分解,即矩阵的满秩分解,矩阵的满秩分解及其相关行满秩列满秩矩阵的定义和相关性质都有广泛的应用,本文给出几类特殊矩阵的满秩分解的公式和快速算法.1预备知识定义[1]1.1(满秩分解)设A是秩为0r(r）的mn矩阵,若存在mr列满秩矩阵F和rn行满秩矩阵G,使得=AFG(1)则称（1）式为矩阵A的满秩分解.定义[2]1.2(行酉对称矩阵)令mnAC为任意给定的负矩阵,k为任意给定的正整数.定义*12k1R（A;G,G,,G）为*12k1011TkmnkRC（A;G,G,,G）=(A,A,,A),其中0,,iiiAAAGAG为酉变换矩阵,1,2,1.ik矩阵*12k1R（A;G,G,,G）称为A的k次行酉对称矩阵.定义[2]1.3(列酉对称矩阵)令mnAC为任意给定的负矩阵,k为任意给定的正整数.定义*12k1C（A;G,G,,G）为*12k1011mknkCC（A;G,G,,G）=(A,A,,A),其中0,,iiiAAAAGG为酉变换矩阵,1,2,1.ik矩阵*12k1C（A;G,G,,G）称为A的k次列酉对称矩阵.定义[3]1.4设=amnijA（）R,矩阵A的行转置与列转置矩阵分别为12(1)1(1)2(1)2212211112mmmnmmmnRnnaaaaaaAaaaaaa数学与统计学院2012届毕业论文211(1)121122(1)2221(1)(_1)(1)(1)2(1)1(1)21nnnnCmnmnmmmnmnmmaaaaaaaaAaaaaaaaa若()RCAAAA,则称A为行（列）对称矩阵;若()RCAAAA,则称A为行（列）反对称矩阵.定义[4]1.5设mnAR,若(),TBA则称A为全转置阵,记为0BA;若0AA,则称A为全对称矩阵.定义[5]1.6(广义行延拓矩阵)设mnAC,可逆矩阵121,,,mnkPPPCk为任意为给定的正整数.定义12k1R（A;P,P,,P）为12k1011TkmnkRC（A;P,P,,P）=(A,A,,A),其中0,,iiAAAPA1,2,1.ik矩阵12k1R（A;P,P,,P）称为A的广义行延拓矩阵.定义[5]1.7(广义列延拓矩阵)设mnAC,可逆矩阵121,,,mnkPPPCk为任意为给定的正整数.定义12k1C(A;P,P,,P）为12k1011mknkCC(A;P,P,,P）=(A,A,,A),其中0,,iiAAAAP1,2,1.ik矩阵12k1C(A;P,P,,P）称为A的广义列延拓矩阵.2几类特殊矩阵满秩分解2.1酉对称矩阵的满秩分解酉对称矩阵有两种形式分别为行酉对称矩阵和列酉对称矩阵,下面对这两种矩阵的满值分解做出介绍.首先,给出行酉对称矩阵的满秩分解.定理2.1.1设(0)mnrACr,存在,mrrnrrFCGC使.AFG令**121,(;,,,),TkGGFFGFGFGF则〈1〉**,GF分别是行满秩矩阵和列满秩矩阵;〈2〉***12k1=RG（A;G,G,,G）F.对于列酉对称矩阵,其满秩分解同行酉对称矩阵的满秩分解很是相似.定理2.1.2设(0)mnrACr,存在,mrrnrrFCGC使.AFG令**121,(;,,,),TkFFGGGGGGGG则数学与统计学院2012届毕业论文3〈1〉**,GF分别是行满秩矩阵和列满秩矩阵;〈2〉***12k1=CG（A;G,G,,G）F.2.2行（列）对称矩阵的满秩分解本小节主要介绍行列对称矩阵的满秩分解,首先介绍行对称矩阵的满秩分解.定理2.2.1设nmrRB的满秩分解为，，nrrrmr,RGRFFGB则行对称矩阵nmRBJBA2rm的满秩分解为.GFJFAm这是偶数行的对称矩阵的满秩分解.下面介绍奇数行的对称矩阵的满秩分解.定理2.2.2设nmrRB的满秩分解为,,nrrrmrGRGRFFGB，，n11,RRr则行对称矩阵nmrmRBJBA)12(的满秩分解为.mGFJFA上面已经对行对称矩阵给出了满秩分解,接下来将介绍列对称矩阵的满秩分解,类似的有,偶数列对称矩阵和奇数列对称矩阵的满秩分解.定理2.2.3（偶数列对称矩阵的满秩分解）设nmrRB的满秩分解为，，nrrrmr,RGRFFGB则列对称矩阵nmnRBJBA2r的满秩分解为)(nGJGFA.定理2.2.4（奇数列对称矩阵的满秩分解）设nmrRB的满秩分解为，，nrrrmr,RGRFFGB11r,mRRF，则列对称矩阵)12(rnnmRBJBA的满秩分解为)(nGJGFA.前面已经给出了行列对称矩阵的满秩分解,现在我们仿照它来研究各种形式的行列反对称矩阵的满秩分解.数学与统计学院2012届毕业论文42.3行（列）反对称矩阵的满秩分解定理2.3.1(偶数行反对称矩阵)设nmrRB的满秩分解为，，nrrrmr,RGRFFGB则行反对称矩阵nmRBJBA2rm-的满秩分解为.-GFJFAm定理2.3.2(奇数行反对称矩阵)设nmrRB的满秩分解为，nrr,RGRFFGBrmr则行反对称矩阵nmrmRBJBA)12(-0的满秩分解为.-0mGFJFA定理2.3.3（偶数列反对称