凸函数的判别和应用

1毕业论文（设计）论文（设计）题目：凸函数的判别和应用系别：数学系专业：数学与应用数学学号：2004104509姓名：林庆指导教师：娄祖安时间：2008年5月25日2河池学院毕业论文（设计）开题报告系别:数学系专业:数学与应用数学论文题目凸函数的判别和应用学生姓名林庆学号2004104509选题意义凸函数是数学分析中的一个重要概念，它在优化理论，判定函数极值，研究函数的图象和证明不等式等方面都有广泛的应用。在初等数学的证明里，有许多不等式的证明如果用初等数学的方法去解决会相当的困难，有的甚至不能解决，但用凸函数的知识去证明可使问题轻松地解决。所以研究凸函数有一定的实用价值。研究综述(前人的研究现状及进展情况)凸函数理论的奠基工作可以追溯到20世纪初前后Holder,Jensen和Minkowski的工作，但引起人们广泛重视的工作则是20世纪40——50年代VonNeumann,Dantxig,Kuhn和Tucker等人关于对策论和数学规化的研究。此后，人们对凸函数进行了大量深入细致的研究，60年代中期产生了凸分析，凸函数的概念被按多种途径进行推广，提出了许多广义凸性的概念。其中影响较大，应用较广的有拟凸（严格拟凸，强拟凸）函数，（严格）伪凸函数等。此后，鉴于凸性和广义凸性在最优化中的应用，出现了一致不变凸函数，严格（半严格）不变凸函数，不变预凸函数等。目前，“非凸分析”或“非光滑分析”正在兴起并成为最优化理论的一个活跃方向。研究的主要内容以教学方向为主，从凸函数的定义出发，研究凸函数的判别方法。然后应用凸函数的性质去证明一些重要的不等式，如詹森不等式，柯西不等式等。最后研究凸函数在初等数学和高等数学中的一些应用。3拟采用的研究方法、步骤研究方法：1文献资料查阅法；2讨论交流法；3网络查询法．研究步骤：1拟定论文题目；2收集文献资料；3拟定论文提纲；4填写毕业论文开题报告；5撰写论文初稿；6审批论文初稿;7定稿打印．研究工作进度安排（1）1月份，听毕业论文撰写指导讲座；（2）1月上旬-2月下旬，选定毕业论文题目；（3）2月下旬-3月上旬，收集整理相关资料及论文提纲；（4）3月上旬-3月中旬，填写毕业论文开题报告；（5）3月中旬-4月上旬，撰写论文初稿；（6）4月上旬-4月下旬，审批论文初稿；（7）4月下旬-6月上旬，修改、定稿打印、论文答辩．参考文献目录[1]华东师范大学数学系．数学分析（上册）第三版［M］．北京：高等教育出版社，2001．[2]裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［M］．北京：高等教育出版社，1993．[3]李远新，刘长春．凸函数在证明不等式中的应用[J]．辽宁师专学报，1999，(2)．[4]张雄，李得虎．数学方法论与解题研究[M]．北京：高等教育出版社，2003．[5]贾凤山．走向高考·数学[M]．北京：人民日报出版社，2006．[6]吉米多维奇．数学分析习题集题解（二）[M]．济南：山东科学技术出版社，1980．[7]朱志嘉．判定凸函数的几个充分条件及其应用[J]．中学教研（数学），1985，（02）．指导教师意见选题符合要求、进度安排合理、同意开题.签字：年月日教研室主任意见准备充分，同意开题.签字：年月日4毕业论文（设计）成绩评定表一学号：2004104509姓名：林庆年级：2004级专业：数学与应用数学指导教师意见：林庆同学所写论文《凸函数的判别和应用》，选题有意义，文中主要给出了凸函数的三个定义以及用意义、定理和几何意义判别函数的凸函数的三种方法，然后应用凸函数的性质证明几个重要而又常用的不等式，并给出凸函数在高等数学和初等数学中的一些应用.这进对一步认识和理解凸函数有一定的帮助和实用价值.该论文选题明确，并有实例佐证.每给出一个例子，都能用自己的理解和所学数学知识进行比较恰当的分析.特别是在问题解决中对凸函数的选取做了一些尝试.对某些例子能归纳出一般的情形.该论文概念明晰，条理清楚，语言顺畅，推理较严谨，有总论、有分论，文章结构合理，符合毕业论文的规范要求，达到学士学位论文的水平，是一篇较好的毕业论文.初评成绩：签字：年月日5毕业论文（设计）答辩记录学号：2004104509姓名：林庆年级：2004级专业：数学与应用数学【论文自述】：给出凸函数的三个定义和三种凸函数的判别方法以及凸函数的应用．其中三种凸函数的判别方法２中利用了三个定理；应用分为两个部分，第一是用凸函数去证明三个重要的常用不等式，如Jensen不等式,Holder不等式和Cauchy不等式；第二是通过七个例子说明凸函数在初等数学和高等数学中的一些应用．论文的亮点：在例６中，利用凸函数的判别方法２中的定理１通过限制数字的大小和变形得出两个结论，用以解决比较数的大小的三种类型．【答辩】：1、问：判别函数凸性的前提条件是什么？答：首先要求判别的函数是连续的函数，另外就是要给出函数定义域上具体的某个区间．因为同一个函数在不同的区间上可以具不同的凸性，如()sinfxx在(0,)上是凹函数．在(,2)上是凸函数．2、问：就论文第一页的定义１说明凸函数的几何意义．答：凸函数的定义１为1212((1))()(1)()fxxfxfx，（0，1），在定义域上取两点1x，2x，那么当0时，12(1)xx表示点2x，当1时，12(1)xx表示点1x，当取遍(0,1)中的数时，12(1)xxx表示点1x到2x之间的线段．对应的函数值12()((1))fxfxx为区间12[,]xx上曲线上的弧．同样，12()(1)()fxfx表示点1()fx到点2()fx之间的连线段（弦），那么1212((1))()(1)()fxxfxfx就表示曲线()fx上两点11(,())xfx和22(,())xfx的连线段都在()fx的上方．3、问：是不是每个函数都具有凸性？答：不一定，要对具体的函数进行分析．由定义１知，只要满足对12,xxI，都有1212((1))()(1)()fxxfxfx这样的函数都具有凸性．如()sinfxx在(0,)上是凹函数．在(,2)上是凸函数．但在(0,2)上没有凸性可言．签字：年月日6毕业论文（设计）成绩评定表二学号：2004104509姓名：林庆年级：2004级专业：数学与应用数学专业答辩小组意见：林庆同学在论文答辩过程中，回答问题较准确，流畅，概念清晰，反映出该同学数学基础较好，论文写作态度认真，准备较充分，并能了解新问题和解决问题的方法，能充分利用所学知识解决问题.该同学所写论文结果正确，有自己的东西，有一定的价值，可续性较强，达到学士学位论文的要求.成绩：签字：年月日系答辩委员会意见：总评成绩：签字：年月日7凸函数的判别和应用学生：林庆河池学院数学系，数学与应用数学专业2004级4班，广西宜州546300指导教师：娄祖安[摘要]有的甚至不在初等数学的证明里，有许多不等式的证明如果用初等数学的方法去解决会相当的困难，能解决．由于凸函数的定义本身就是一个不等式，再就是凸函数的性质方便实用，对不等式的证明起到非常重要的作用．鉴于此，本文主要给出了凸函数的三个定义及其三种判别方法，然后应用凸函数的性质证明几个重要的常用不等式，如Jensen不等式，Holder不等式和Cauchy不等式，用以解决一些不等式的证明，最后给出凸函数在高等数学和初等数学中的一些应用．[关键词]凸函数；不等式；判别；证明；应用凸函数是一类非常特殊的函数，它在最优化理论，判别函数极值，研究图象和证明不等式等方面都有广泛的应用．这里给出凸函数的三个定义及三种判别方法，并应用凸函数的性质证明几个重要的常用不等式．然后从教学的角度出发，给出凸函数在高等数学和初等数学中的一些应用．1凸函数的定义由于凸函数的重要性，许多学者对此进行过深入的研究，并由此得出凸函数的多种不同定义．这里给出凸函数的三个常见定义．定义1设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点1x，2x和任意实数（0，1）总有1212((1))()(1)()fxxfxfx，（1）则称f为I上的凸函数．反之，如果总有1212((1))()(1)()fxxfxfx．（2）则称f为I上的凹函数．如果（1）、（2）中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数．定义2f(x)在区间I上有定义．若对1x，2xI，有8f(122xx)12f(1x)+12f(2x)．则称f为I上的凸函数．定义3()fx在区间I上有定义，当且仅当曲线()yfx的切线恒保持在曲线以下，则称()fx为I上的凸函数．由于凸函数与凹函数是对偶的概念，前一个有什么结论，后一个亦有相应的结论．所以只需对函数判别凹凸，即可运用凸函数的有关性质．在判别函数凸性和解题过程中,可以根据具体的函数和题目选择合适的定义．2凸函数的判别方法在解题的过程中，我们常常会碰到一些不等式的证明，而这些不等式的证明往往又与凸函数有关．要想运用凸函数的有关性质，首先就要判别该函数的凸性．所以掌握凸函数的一些基本判别方法，有利于提高解题速度．下面先从凸函数的定义出发，探讨判别凸函数的几种基本方法．2．1利用定义判别函数的凸性有些基本的初等函数可以直接用定义去判别它的凸性．例如要判别2()(0)fxxx的凸性．由定义1，对12(0,1),,0xx有1212 ()(1)()((1))fxfxfxx2221212(1)[(1)]xxxx2212()()xx212(1)()0xx，即1212((1))()(1)()fxxfxfx．所以2()fxx为(0,)上的凸函数．2．2利用定理判别函数的凸性下面给出判别函数凸性的三个定理．定理1f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意三点123xxx，总有9313221213132()()()()()()fxfxfxfxfxfxxxxxxx．这是斜率表达式．该定理的几何意义如图1所示：如果用,,ABBCAC表示()fx曲线上的弦，那么它的几何意义即：ABkACkBCk．例如判别函数()xfxe的凸性，在其定义域(,)上，可取123xxx，则21212121()()xxABfxfxeekxxxx，32323232()()xxBCfxfxeekxxxx，从几何意义（如图2）上明显有32213221()()()()0BCABfxfxfxfxkkxxxx．所以()xfxe为(,)上的凸函数．定理2若()fx在I上满足：1122331()1()01()xfxxfxxfx(1x，2x，3xI，且123xxx)，则称()fx为I上的凸函数．注此定理即是定理1中前一个不等式31212131()()()()fxfxfxfxxxxx两边同乘2131()()xxxx，并移项得321132213()()()()()()0xxfxxxfxxxfx，10即1122331()1()01()xfxxfxxfx．例如判别函数2()fxx的凸性，则可在其定义域(,)上任取123,,xxx，且123xxx，由该定理得222321132213()()()xxxxxxxxx22232112232213()[()()]()xxxxxxxxxxx222232122132()()()()xxxxxxxx321212213232()()()()()()xxxxxxxxxxxx32121223()()()xxxxxxxx322131()()()0xxxxxx．即1122331()1()01()xfxxfxxfx，所以2()fxx为(,)上的凸函数．定理3设f为区间I上的二阶可