凸函数的性质研究毕业论文完整版

凸函数性质研究1凸函数性质研究摘要凸函数是分析学中一类重要的函数，最早是由Jensen提出。它在纯粹数学与应用数学等诸多领域中应用十分广泛，现已成为对策论、数学规划、分形学、最优控制和数理经济学等学科的理论基础和有力工具。为了理论上的突破，加强其在实践中的应用，凸函数的性质还在不断研究和完善中。本文将散见于各文献中凸函数的概念进行了系统的归纳和总结，并给出了凸函数常见的判定定理，进而研究了凸函数的常用性质，列举了与凸函数相关的著名不等式；由于凸函数的定义是由不等式给出的，其广泛应用主要体现在不等式的证明中。基于此，本文主要通过对凸函数的概念和性质进行系统的总结和研究，探索出凸函数在一般不等式，Jensen不等式，Holder不等式，Cauchy不等式，Young不等式，及Hadamard不等式证明中的应用，并简要阐述了凸函数在其它领域的贡献。关键词：凸函数；不等式；导数；单调性凸函数性质研究2StudyonthepropertiesofconvexfunctionAbstractConvexfunctionwhichwasfirstproposedbyJensenisakindofimportantfunctionsinanalytics.Itiswidelyusedinpureandappliedmathematics,etc.Convexfunctionbecomesthetheoreticalbasisandthepowerfultoolofthegametheory、mathematicalprogrammingtheory、analysis、mathematicalscience、economicsandotherdisciplines.Inordertohaveatheoreticalbreakthroughwhichcouldstrengthentheapplicationinpractice，thepropertiesofconvexfunctionarebeingresearched.Inthisarticle,thewriter’smainworkissummarizingthevariousconceptsofconvexfunctionswhichdevelopedindifferentmathematicalbooks.Furthermore,thewriteralsogivessomedefinitionsofcommontheoremsandalsoenumeratesthefamousinequalitiesrelatedtoconvexfunction.Becausethedefinitionofconvexfunctionisgivenbyinequalities，itsapplicationmainlyreflectsintheproofofinequality.ThewritermainlysummarizesconceptsandpropertiesoftheconvexfunctionandexploresitsapplicationinthegeneralinequalitysuchasJenseninequality,Holderinequality,Cauchyinequality,YounginequalityandHadamardinequality.Atlast,itdiscussesthecontributionofconvexfunctioninotherfieldsbriefly.凸函数性质研究3目录摘要...................................................1第一章绪论.............................................41.1凸函数的产生和发展.........................................41.2凸函数研究的目的和意义.....................................4第二章凸函数的定义及判定...............................52.1凸函数的定义及关系...................................................................................52.2凸函数的判定定理.......................................................................................7第三章凸函数的性质....................................113.1凸函数的一般性质.....................................................................................113.2凸函数的运算性质.....................................................................................123.3凸函数的微分性质.....................................................................................143.4凸函数的积分性质.....................................................................................153.5凸函数的其他性质.....................................................................................16第四章凸函数的应用....................................194.1利用凸函数证明经典不等式..................................194.2凸函数的经典不等式在证明不等式中的应用[5]..................214.3利用凸函数的定义证明一般不等式[8]..........................224.4凸函数在积分不等式中的应用................................234.5凸函数在其它领域的应用简述.................................254.5.1凸函数在生产函数中的应用.............................254.5.2凸函数在消费者效用最大化问题中的应用.................26第五章结论............................................26参考文献................................................27致谢....................................................28凸函数性质研究4第一章绪论1.1凸函数的产生和发展函数是数学中最重要的基本概念，也是数学分析的重点研究对象，而凸函数则是其中独特的一类。凸函数的概念最早见于Jensen的著作中。起初，人们并不看好凸函数，但随着上世纪40年代杜克和冯诺伊曼等人对策论和数学规划的研究，凸函数开始引起人们的注意。凸函数的产生给人们带来了一种新的研究函数的工具，其独有的性质引起了人们“认识”它的欲望，从上世纪50年代初到60年代末，不少的数学家相继对凸函数进行了大量的研究，上世纪60年代中期产生了凸分析。从此，凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来了。本世纪初建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在数学，经济等领域得到了广泛应用。凸函数的特殊性质决定了其在函数领域的特殊地位。到目前为止，凸函数的研究已经从简单的定义研究发展到对其性质的研究，再到其凸性在各个领域应用的研究。由于人的求知欲是无限的和科技的不断发展，人们对凸函数的研究还在不断进行中。1.2凸函数研究的目的和意义在众多的数学思想方法中，运用最多的就是函数思想，其精髓在于利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证。凸函数是一种性质特殊的函数，也是函数中一种应用比较广泛的函数。除了在数学学科，例如函数论、数学分析、最优理论、泛函分析等中得到广泛应用，在现代优化学、工程测绘学和管理学等多个学科也有着很好的应用和重要的意义。基于凸函数性质的良好性和应用的广泛性，对凸函数的性质与应用进行系统的总结和研究，对其理论进一步深入研究和推广，就显得尤为重要。在现行的高等数学教材中，各个版本对凸函数的定义有所差异。本文在现有的书籍和文献的基础上，总结归纳出凸函数的各种定义，探讨了其常见的判定条件，并给出了证明过程，从而进一步列举了凸函数常用的性质，结合凸函数的概念和性质，总结了凸函数在一般不等式和经典不等式证明中的应用，在本文的最后，简单叙述了凸函数在生产中及经济等其它领域的广泛应用。通过本次课题的研究，将对凸函数的有更加全面、深刻的理解，便于今后更好的运用凸函数解决复杂的问题。凸函数性质研究5第二章凸函数的定义及判定大家都熟悉2fxx的图像，它的特点是：曲线2yx上任意两点间的连线总在其弧线的上方，我们把具有这一类特性的曲线函数称为凸函数。[4]上面的定义是几何描述型的，为了更加规范，我们给出了凸函数的科学定义。2.1凸函数的定义及关系定义1设fx为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点1x，2x和任意实数01,，总有1212((1))()(1)()fxxfxfx（1.1）则称fx为区间I上的（下）凸函数。（1.1）式中“”变成“”则是严格（下）凸函数的定义。“”变成“”，则称()fx为I上的凹函数。[2]定义2设fx为定义在区间I的上的函数，若对I上的任意三点123,,xxx，且123xxx，总有313221213132()()()()()()fxfxfxfxfxfxxxxxxx（1.2）则称fx为I上的凸函数。定义3设fx为定义在区间I的上的函数，若对I上任意三点123,,xxx，且123xxx,恒有1122331101fxxxfxxfx（1.3）则称fx为I上的凸函数。[3]现在，我们证明定义1，定义2，定义3相互等价，我们只需证：定义1定义2定义3定义1证明（1）定义1定义2凸函数性质研究6对任意123,,xxxI，取3231xxxx，01,,显然有23311xxxx，213(1)xxx，且123xxx，有凸函数的定义1，得2131fxfxfx移向有21311fxfxfxfx，3231fxfxfxfx，即31212131()()()()fxfxfxfxxxxx，32313231()()()()fxfxfxfxxxxx，两式合并为313221213132()()()()()()fxfxfxfxfxfxxxxxxx。（2）定义2定义3由定义2知31212131()()()()fxfxfxfxxxxx，其中123xxx，故21313121()(()()()(()())0xxfxfxxxfxfx，因为111122212133133121313121()()111()0()()10()()()()(()()()(()()fxfxxxxfxxxfxfxxxx