1函数与方程1.函数的零点(1)定义:对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理):如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个3.二分法的定义对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.考点一确定函数零点所在的区间【例1】(1)设f(x)=ex+x-4,则函数f(x)的零点位于区间()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)(2)函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)[自主解答](1)∵f(x)=ex+x-4,∴f′(x)=ex+10,∴函数f(x)在R上单调递增.对于A项,f(-1)=e-1+(-1)-4=-5+e-10,f(0)=-30,f(-1)f(0)0,A不正确,同理可验证B、D不正确.对于C项,∵f(1)=e+1-4=e-30,f(2)=e2+2-4=e2-20,f(1)f(2)0.(2)由条件可知f(1)f(2)0,即(2-2-a)(4-1-a)0,即a(a-3)0,解得0a3.[答案](1)C(2)C2【变式训练】在下列区间中,函数f(x)=e-x-4x-3的零点所在的区间为()A.-34,-12B.-12,-14C.-14,0D.0,14解析:选B易知函数f(x)在R上是单调减函数.对于A,注意到f-34=e34-4×-34-3=e340,f-12=e12-4×-12-3=e12-10,因此函数f(x)=e-x-4x-3的零点不在区间-34,-12上;对于B,注意到f-120,f-14=e14-4×-14-3=e14-2414-20,因此在区间-12,-14上函数f(x)=e-x-4x-3一定存在零点;对于C,注意到f-140,f(0)=-20,因此函数f(x)=e-x-4x-3的零点不在区间-14,0上;对于D,注意到f(0)=-20,f14=e14-4×14-3=e14-40,因此函数f(x)=e-x-4x-3的零点不在区间0,14上.考点二判断函数零点个数【例2】(1)函数f(x)=x12-12x的零点个数为()A.0B.1C.2D.3(2)函数f(x)=lnx-x2+2xx0,4x+1x≤0的零点个数为()A.0B.1C.2D.3[自主解答](1)因为y=x12在x∈[0,+∞)上单调递增,y=12x在x∈R上单调递减,所以f(x)=x12-12x在x∈[0,+∞)上单调递增,又f(0)=-10,f(1)=120,所以f(x)=x12-12x在定义域内有唯一零点.(2)当x≤0时,函数有零点x=-14;当x0时,作出函数y=lnx,y=x2-2x的图象,观察图象可知两个函数的图象(如图)有2个交点,即当x0时函数f(x)有2个零点.故函数f(x)的零点的个数为3.[答案](1)B(2)D【变式训练】已知符号函数sgn(x)=1,x0,0,x=0,-1,x0,则函数f(x)=sgn(x-1)-lnx的零点个数为()A.1B.2C.3D.4解析:选C依题意得,当x-10,即x1时,f(x)=1-lnx,令f(x)=0得x=e1;当x-1=0,3即x=1时,f(x)=0-ln1=0;当x-10,即x1时,f(x)=-1-lnx,令f(x)=0得x=1e1.因此,函数【变式训练】若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)=lgx,x0,0,x=0,-1x,x0,则方程f(x)-g(x)=0在区间[-5,5]上的解的个数为()A.5B.7C.8D.10解析:选C依题意得,函数f(x)是以2为周期的函数,在同一坐标系下画出函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象,结合图象得,当x∈[-5,5]时,它们的图象的公共点共有8个,即方程f(x)-g(x)=0在区间[-5,5]内的解的个数是8.考点三根据函数零点的存在情况求参数【例3】1、对于实数a和b,定义运算“*”:a*b=a2-ab,a≤b,b2-ab,ab.设f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根,则m的取值范围是________.[解析]由定义可知,f(x)=(2x-1)*(x-1)=2x-12-2x-1x-1,x≤0,x-12-2x-1x-1,x0,即f(x)=2x2-x,x≤0,-x2+x,x0.作出函数f(x)的图象,如图所示,关于x的方程f(x)=m恰有三个互不相等的实根x1,x2,x3,即函数f(x)的图象与直线y=m有三个不同的交点,则0m14.2.已知函数f(x)=2x,x≥2,x-13,x2.若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是________.解析:画出函数f(x)的图象如图所示,根据图象可知当k∈(0,1)时,方程f(x)=k有两个不同的实根.4答案:(0,1)课后练习1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是()解析:选C由图象可知,选项C所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的,不能用二分法求解.2.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为()x-10123ex0.3712.727.3920.09x+212345A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)解析:选C令f(x)=ex-x-2,则f(-1)=0.37-10,f(0)=1-20,f(1)=2.72-30,f(2)=7.39-40,f(3)=20.09-50,所以方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为(1,2).3.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是________.解析:∵函数f(x)=x2-ax-b的两个零点为2和3,∴2+3=a,2×3=-b,即a=5,b=-6.∴g(x)=bx2-ax-1=-6x2-5x-1,令g(x)=0,得x=-12或-13.答案:-12,-134.函数f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)上存在零点,则实数a的取值范围是________.解析:∵f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)上有零点,5且f(x)为一次函数,∴f(-1)·f(1)0,即(1-5a)(1+a)0.∴a15或a-1.答案:a15或a-15.已知函数f(x)=2x-1,x≤1,1+log2x,x1,则函数f(x)的零点为()A.12,0B.-2,0C.12D.0解析:选D当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=12,又因为x1,所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.6.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)解析:选C因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线,又f(-2)=e-2-40,f(-1)=e-1-30,f(0)=-10,f(1)=e-10,f(2)=e20,所以f(0)·f(1)0,故函数的零点所在的一个区间是(0,1).7.定义在R上的奇函数f(x)满足:当x0时,f(x)=2012x+log2012x,则在R上,函数f(x)零点的个数为________.解析:函数f(x)为R上的奇函数,因此f(0)=0,当x0时,f(x)=2012x+log2012x在区间0,12012内存在一个零点,又f(x)为增函数,因此在(0,+∞)内有且仅有一个零点.根据对称性可知函数在(-∞,0)内有且仅有一解,从而函数在R上的零点的个数为3.答案:38.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=x-x-1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是________.解析:令x+2x=0,得2x=-x,令x+lnx=0,得lnx=-x.在同一坐标系内画出y=2x,y=lnx,y=-x,如图:x10x21,令x-x-1=0,则(x)2-x-1=0,∴x=1+52,即x3=3+521.所以x1x2x3.答案:x1x2x369.判断下列函数在给定区间上是否存在零点.(1)f(x)=1x-x,x∈(0,1).(2)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3].解:(1)法一:令f(x)=1x-x=0,解得x=±1,又∵±1∉(0,1),∴f(x)=1x-x,x∈(0,1)不存在零点.法二:画出函数f=1x与y=x的图象,如右图所示,由图象观察可知此函数在(0,1)不存在零点.(2)函数f(x)=log2(x+2)-x的图象在[1,3]上连续.又f(1)=log23-1log22-1=0.f(3)=log25-3log28-3=0.∴f(1)·f(3)0.故函数f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点.
本文标题:函数与方程零点问题
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