函数专题之解析式问题

1函数专题之解析式问题高一数学组求函数解析式的方法把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()fx求[()]fgx或已知[()]fgx求()fx：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()fx满足某个等式，这个等式除()fx外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。一.【待定系数法】（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）若已知)(xf的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得)(xf的表达式。【例1】已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。分析：所求的函数类型已定，是一次函数。设f(x)=ax+b(a≠0)则f(x+1)=?，f(x-1)=?解：设f(x)=ax+b(a≠0)，由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17，∴f(x)=2x+7【例2】求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7分析：所求的函数类型已定，是一次函数。设f(x)=ax+b(a≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=?2解：设f(x)=ax+b（a≠0)，依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7∴xa3+b(2a+a+1)=8x+7，∴f(x)=2x+1【评注】待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。二.【换元法】（注意新元的取值范围）已知))((xgf的表达式，欲求)(xf，我们常设)(xgt，从而求得)(1tgx，然后代入))((xgf的表达式，从而得到)(tf的表达式，即为)(xf的表达式。三【配凑法（整体代换法）】若已知))((xgf的表达式，欲求)(xf的表达式，用换元法有困难时，（如)(xg不存在反函数）可把)(xg看成一个整体，把右边变为由)(xg组成的式子，再换元求出)(xf的式子。【例题】已知f(x-1)=2x-4x，解方程f(x+1)=0分析：如何由f(x-1)，求出f(x+1)是解答此题的关键解1：f(x-1)==2)1(x-2(x-1)-3，∴f(x)=2x-2x-3f(x+1)=2)1(x-2(x+1)-3=2x-4，∴2x-4=0，x=±2解2：f(x-1)=2x-4x，∴f(x+1)=f[（x+2)-1]=2)2(x-4(x+2)=2x-4，∴2x-4=0，x=±2解3：令x-1=t+1，则x=t+2，∴f(t+1)=2)2(t-4(t+2)=2t-4∴f(x+1)=2x-4，∴2x-4=0，∴x=±2评注：只要抓住关键，采用不同方法都可以达到目的。解法1，采用配凑法；解法2，根据对应法则采用整体思想实现目的；解法3，采用换元法，这些不同的解法共同目的是将f(x-1)的表达式转化为f(x+1)的表达式。3【小结：】待定系数法、换元法、配凑法是求函数解析式常用的方法，其中，待定系数法只适用于已知所求函数类型求其解析式，而换元法与配凑法所依据的数字思想完全相同--整体思想。四.【消元法】【构造方程组】（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。【例题】已知()fx满足12()()3fxfxx，求()fx．分析：12()()3fxfxx①，把①中的x换成1x，得132()()ffxxx②，①2②得33()6fxxx，∴1()2fxxx．五.【赋值法】(特殊值代入法)在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。六．利用给定的特性求解析式.【例题】设)(xf是偶函数，当x＞0时，xexexf2)(，求当x＜0时，)(xf的表达式.练习6．对x∈R，)(xf满足)1()(xfxf，且当x∈[－1，0]时，xxxf2)(2求当x∈[9，10]时)(xf的表达式.七．归纳递推法【例题】设11)(xxxf，记)]([)(xfffxfn，求)(2004xf.八．相关点法4【例题】已知函数12)(xxf，当点P(x，y)在y=)(xf的图象上运动时，点Q(3,2xy)在y=g(x)的图象上，求函数g(x).九．构造函数法【例题】若)(xf表示x的n次多项式，且当k=0，1，2，…，n时，1)(kkkf求)(xf.训练例题(1)已知f（x＋1）＝x＋2x，求f(x)的解析式。(2)已知f（x＋x1）＝x3＋x1，求f(x)的解析式。(3)已知函数f（x）是一次函数，且满足关系式3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f(x)的解析式。分析：此题目中的“f”这种对应法则，需要从题给条件中找出来，这就要有整体思想的应用。即：求出f及其定义域.(1)解法一：【换元法】设t＝x＋1≥1，则x＝t－1，∴x＝（t－1）2∴f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1）∴f（x）＝x2－1（x≥1）解法二：【凑配法】由f(x+1)=x+2x=2)1(x-1，∴f(x)=2x-1(x≥1)【评注：】①f(t)与f(x)只是自变量所用字母不同，本质是一样的。②求出函数解析式时，一定要注明定义域，函数定义中包括定义域这一要素。(2)∵x3＋31x＝（x＋x1）（x2＋21x－1）＝（x＋x1）[（x＋x1）2－3]5∴f（x＋x1）＝（x＋x1）[（x＋x1）2－3]∴f（x）＝x（x2－3）＝x3－3x∴当x≠0时，x＋x1≥2或x＋x1≤－2∴f（x）＝x3－3x（x≤－2或x≥2）(3)设f（x）＝ax＋b则3f（x＋1）－2f（x－1）＝3ax＋3a＋2b＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17∴a＝2，b＝7，∴f（x）＝2x＋7评述：“换元法”“配凑法”及“待定系数法”是求函数解析式常用的方法，以上3个题目分别采用了这三种方法。值得提醒的是在求出函数解析式时一定要注明定义域。（4）已知3311()fxxxx，求()fx；（5）已知2(1)lgfxx，求()fx；（6）已知()fx是一次函数，且满足3(1)2(1)217fxfxx，求()fx；解：（4）∵3331111()()3()fxxxxxxxx，∴3()3fxxx（2x或2x）．（5）令21tx（1t），则21xt，∴2()lg1ftt，∴2()lg(1)1fxxx．（6）设()(0)fxaxba，则3(1)2(1)3332225217fxfxaxabaxabaxbax，∴2a，7b，∴()27fxx．注：第（4）题用配凑法；第（5）题用换元法；第（6）题已知一次函数，可用待定系数法．