函数及其表示

1.2.1函数的概念【学习目标】1、通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型2、学习用集合语言刻画函数3、理解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域并能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域。4、使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。【学习过程】(一）、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；(二)、学习过程函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，而掌握好函数的概念是学好函数的基石。阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题通过多教材上三个例子的研究，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域（range）．注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．（3）函数是非空数集到非空数集的对应关系。（4）“f：A→B”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域A（要优先），值域C（上函数值的集合且C∈B）4．区间的概念区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；],[}|{babxax),[}|{babxax],(}|{babxax),(}|{babxax],(}|{bbxx),[}|{axax三、精讲精练例1：求函数ｙ＝xxx12132的定义域。变式训练一：求函数ｙ＝422xx的定义域；例⒉求函数ｆ(ｘ)＝112x，ｘ∈Ｒ，在ｘ＝０，１，２处的函数值．变式训练二：已知Ａ＝｛１，２，３，ｋ｝，Ｂ＝｛４，７，a4，a2＋３a｝，a∈Ｎ+，ｋ∈Ｎ+，ｘ∈Ａ，ｙ∈Ｂ，ｆ：ｘ→ｙ＝３ｘ＋１是从定义域Ａ到值域Ｂ上的一个函数，求a，ｋ，Ａ，Ｂ．课后作业1.已知函数2()21gtt，则(1)g（）.A.－1B.0C.1D.22.函数()12fxx的定义域是（）.A.1[,)2B.1(,)2C.1(,]2D.1(,)23.已知函数()23fxx，若()1fa，则a=（）.A.－2B.－1C.1D.24.函数2,{2,1,0,1,2}yxx的值域是.5.函数2yx的定义域是.（用区间表示）6.已知函数2()352fxxx，求(3)f、(2)f、(1)fa的值..7.已知()2yftt，2()23txxx.（1）求(0)t的值；（2）求()ft的定义域；（3）试用x表示y.8.已知函数22()1xfxx，那么111(1)(2)()(3)()(4)()234fffffff＝＿＿1.2.1函数的概念第二课时函数概念的应用【学习目标】1．进一步加深对函数概念的理解，掌握同一函数的标准；2．了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域．3．经历求函数定义域及值域的过程，培养学生良好的数学学习品质。【学习过程】1、创设情境下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数？为什么？（1）f(x)＝(x－1)0；g(x)＝1；（2）f(x)＝x；g(x)＝x2；（3）f(x)＝x2；g(x)＝(x+1)2；、（4）f(x)＝|x|；g(x)＝x2．2、讲解新课总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同3、典例例1求下列函数的定义域：（1）11xxy；（2）232531xxy；点评：求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的x的取值范围，列出不等式（组），然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个：①分式中，分母不等于零．②偶次根式中，被开方数为非负数．③对于0xy中，要求x≠0．变式练习1求下列函数的定义域：（1）xxxy||)1(0；（2）xxxy12132．说明：若A是函数)(xfy的定义域，则对于A中的每一个x，在集合B都有一个值输出值y与之对应．我们将所有的输出值y组成的集合称为函数的值域．因此我们可以知道：对于函数f：AB而言，如果如果值域是C，那么BC，因此不能将集合B当成是函数的值域．我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．如果函数的对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了．例2．求下列两个函数的定义域与值域：（1）f(x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}；（2）f(x)=(x-1)2+1．变式练习2求下列函数的值域：（1）642xxy，1[x，)5；（2）113xxy；4、课堂小结（1）同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同（2）求解函数值域问题主要有两种方法：一是根据函数的图象和性质（或借助基本的函数的值域）由定义域直接推算；二是对于分式函数，利用分离常数法得到y的取值范围．ABC)(xfxf课后作业：1.函数()131fxxx的定义域是（）.A.[3,1]B.(3,1)C.RD.2.函数2132xyx的值域是（）.A.11(,)(,)33B.22(,)(,)33C.11(,)(,)22D.R3.下列各组函数()()fxgx与的图象相同的是（）A.2(),()()fxxgxxB.22(),()(1)fxxgxxC.0()1,()fxgxxD.()||,()xfxxgxx(0)(0)xx4.函数f(x)=1x+12x的定义域用区间表示是.5.已知函数22,1(),12,()32,2xxfxxxfaxx若,则实数a的值是__________．6.求下列函数的定义域（用区间表示）.（1）2()343xfxxx；（2）1()94fxxx7.求下列函数的值域（用区间表示）：（1）y＝x2－3x＋4；（2）2()24fxxx；（3）y＝53x；（4）2()3xfxx1.2.2函数的表示法(一)学习目标1．掌握函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析法，体会三种表示方法的特点．2．掌握函数图象的画法及解析式的求法.自学导引表示函数的方法常用的有：解析法、图象法、列表法．(1)解析法——用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；(2)图象法——用图象表示两个变量之间的对应关系；(3)列表法——列出表格来表示两个变量之间的对应关系.一、函数的表示法例1观察下面的表格并回答问题，某同学在一个学期中数学月考成绩如下表：月份91011121数学成绩（分）8368978679你能说出数学成绩关于月份的函数的定义域和值域吗？变式迁移1(1)某城市在某一年里各月份毛线的零售量(单位：100kg)如表所示：月份t123456789101112零售量y818445469561594161144123则零售量是否为月份的函数？为什么？(2)由下列图形是否能确定y是x的函数？二、函数解析式的求法例2求下列函数的解析式：(1)已知：f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．变式迁移2已知f(2x＋1)＝x2＋1，求f(x)的解析式．三、函数图象的作法例3作出下列各函数的图象：(1)y＝1－x，x∈Z；(2)y＝|x－1|(x0)．变式迁移3①若(1)中定义域为{x|x≤0}；②若(2)中定义域为{x|x≥1或x≤－1}．解析式不变，应如何作图．1．函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法．2．画函数图象的方法：(1)列表、描点、连线；(2)图象变换．3．求函数解析式的方法有：换元法、配凑法、待定系数法等．一、选择题1．下图中，可表示函数y＝f(x)的图象的只可能是()2．下列表格中的x与y能构成函数的是()A.x非负数非正数y1－1B.x奇数0偶数y10－1C.x有理数无理数y1－1D.x自然数整数有理数y10－13．若f(1－2x)＝1－x2x2(x≠0)，那么12()f等于()A．1B．3C．15D．304．已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)等于()A．3x＋2B．3x－2C．2x＋3D．2x－35．函数y＝f(x)的图象与直线x＝m的交点个数为()A．可能无数B．只有一个C．至多一个D．至少一个二、填空题6．已知f(2x＋1)＝3x－2且f(a)＝4，则a的值为______．7．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定能确定正确的论断序号是________．8．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．x123f(x)211x123g(x)321则f[g(1)]的值为____________；当g[f(x)]＝2时，x＝__________.9.设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积y关于x的函数的解析式，并写出定义域.10.一次函数()fx满足[()]12ffxx，求()fx.11.若2(1)21fxx，求()fx.1.2.2函数的表示法(二)学习目标1．了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题．2．了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射．自学导引1．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．2．映射的概念3．映射与函数由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是非空数集.一、分段函数的求值问题例1已知函数f(x)＝x＋2(x≤－1)，x2(－1x2)，2x(x≥2).(1)求f[f(3)]的值；(2)若f(a)＝3，求a的值．变式迁移1设f(x)＝12x－1(x≥0)，1x(x0)，若f(a)a，则实数a的取值范围是________．二、分段函数的实际应用例2在运距不超过500公里以内投寄快递包裹，首重不超过1000克需付邮资5元，5000克以内续重每500克需付邮资2元，5001克以上续重500克需付邮资1元．一件重x克的包裹需付邮资y元，请写出在运距不超过500公里以内投寄快递包裹需付邮资y元与包裹重量x克(0x≤4000)之间的函数表达式，求出函数的值域，并作出函数的图象．变式迁移2某地出租车的出租费为4千米以内(含4千米)，按起步费收10元，超过4千米按每千米加收1元，超过20千米(不含20千米)每千米再加收0.2元，若将出租车费设为y，所走千米数设为x，试写出y=f(x)的表达式，并画出其图象．三、映射概念及运用例3判断下列对应关系哪些是从集合A到集合B的映射，哪些不是，为什么？（1）A=xyxfRyyBRxx:,|,|*（2）A=R,B=,1,0对应关系f:;000,1xxyx，；(3)A=Z,B=Q，对应关系f:;1xyx(4)A=64,9,4,1,0,9,2,1,0B,对应关